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Mathematisches Institut der Universität Basel
Vorlesung Infinitesimalrechnung II (SS 2000)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 25. April 2000

1.

Bestimme alle zweimal differenzierbaren Funktionen f auf mit f=-f'' .

2.

Sei f eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit f(1/2n)=0 und f(1/(2n+1))=1/n für alle .

Zeige:

3.

Bestimme die Taylorreihe von .

4.

Zeige: Seien P,Q Polynome mit .

Dann definiert f(x)=P(x)/Q(x) eine reell-analytische Funktion in einer Umgebung von 0 .

5.

Zeige, dass für n-mal stetig differenzierbare Funktionen f gilt:

(*) 6.

Durch wird eine unendlich oft differenzierbare Funktion definiert (siehe Aufgabe I:13.6).

Zeige damit:

• Es gibt eine Funktion mit g(x)=0 für und g(x)=1 für .

• Sei . Dann gibt es eine Funktion , sodass für und für .

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