_{Prof. Dr.}

^{Karlheinz Spallek}

Voßkuhlstr.7

44797 Bochum

Tel/Fax: 0234-793203,

eMail: Karlheinz.Spallek@ruhr-uni-bochum.de

Meine Anschrift an der Uni ist:

Mathematik

NA 4/27

Ruhr-Universität Bochum

44780 Bochum

Inhaltsüberblick

A) Kurzbiographie, B) Das Behnke-Seminar in meinem Erleben,

C) Arbeiten, Schüler, Inhalte:

0: Numbering and classification of published papers.

I: Mathematik.

II:Didaktik der Mathematik, Philosophie,..

III: Betreute Dissertationen. Einige Veröffentlichungen dazu.

IV: Betreut in Bochum: A) Diplomarbeiten,

B) Staatsexamensarbeiten.

V: Content of published work under I and II, short description.

A) Mathematics, B) Didactics-philosophy.

VI: Hierarchy of spaces.

a) Differentiable spaces and some variants.

b) Some spaces in other areas.

Anhang: I. Inhaltliche Beschreibung der Arbeiten nach Stichworten.

II. Ein Forschungsfreisemester. III. Bücher, Scripten, vergeblich Geplantes.

A) KURZBIOGRAPHIE

Spallek, Karlheinz, Anton. Prof. Dr., Mathematiker (Forschung, Lehre).

geb. 09.02.1934 in Bergwalde, Oberschlesien, Deutschland; röm. kath. .

Eltern: Lehrer Karl Spallek (1945 gefallen), Ehefrau Maria, geb. Heyna.

Schule: 1940 – 1948 Volksschule in Schlesien, Sachsen, Westfalen (wegen

Krieg und Vertreibung oft unterbrochen). 1948-1954 Aufbauschule

mit Abitur in Recklinghausen, NRW.

Studium: 1954-60 Universitäten Heidelberg, Münster: Mathematik, Physik,

Philosophie.

Staatsexamen: 1960 Univ. Münster, Promotion: 1961 Universität Münster.

Hilfsassistent: 1960, Wiss. Assistent: 1961-62, 1964-66 Univ. Münster.

Habilitation (Mathematik): 1966 Universität Münster.

Verheiratet seit 1964 mit Ursula Spallek, geb. Berentroth (Volmarstein/Ruhr).

Heirat in Lafayette Indiana, USA; 5 Töchter, viele Enkelkinder.

Forschungsaufenthalte, Professuren, Mathematik, 62-64 als Auswanderer:

1962-63 Stipendiat Univ. of California, Berkeley, USA;

1963-64 Assist.-Prof., Purdue-Univ., Lafayette, Indiana, USA,

Angebot einer Dauerprofessur.

1966-67 Gastprof. Inst. for Advanced Study, Princeton, NJ, USA;

1969 Univ. La Plata, Argentinien;

1970 Univ. Genua, Italien; später weitere in:

Byalistok, Bukarest, Krakau, Posen, Rom, Sofia, Warschau.

Dozent: 1967-69, Wiss. Rat und Prof.: 1970-71 Univ. Münster,

Ord. Prof. (Math.): 1971-1999 Ruhr-Univ. Bochum, 1999 emeritiert.

Dekan: 1974-76, 1996-98, im Anschluss jeweils entsprechend Prodekan;

1977-81 geschäftsführender Direktor.

Mitgliedschaften: Mathematik, Didaktik der Mathematik, Politik, Kirche(mit

Leitungsfunktionen).

Veröffentlichungen: ca. 80 zur komplex- und reell-analytischen Geometrie

(u.a.Osggood-Hartogs-Typ-Sätze, zum Prinzip „Differenzierbarkeit

impliziert Analytizität“, zur differenzierbaren Geometrie (Analysis

auf differenzierbaren Räumen), zu Didaktik- Philosophie

(operatives Prinzip, Existenzfragen, Schein und Wirklichkeit).

Bücher: Kurven und Karten (~1980, 1994), Kinematik in N-di-

mensionalen Räumen (1993, mit K. Friedrich), Zahl und

Zuordnung 1981-86 (6 Bände, mit A. Brüning). Vorl.-Skripte:

Analysis, Differentialgeometrie, Diffb.Räume,…

Sonstiges: Aufbauschule (Buch, 2005); Fotokalender: Bochum-

Stiepel 2010, Uni Bochum 2011; Das Behnke-Seminar in Münster

(Vorträge: Hamburg 05, Münster 08, intern verteiltes Manuskript).

Schüler: ca. 90 betreute Arbeiten zum Staatsexamen, Diplom; 16

Promotionen. 3 wurden Professoren.

Sprachen: Deutsch, englisch, (spanisch, französisch).

Hobbies: Dolomitenklettern, Fotografieren, Malen, Nachdenken.

Anschrift: Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum, Universitäts-

straße 150, D-4630 Bochum, Deutschland

B) Vom äußeren zu den inneren Kreisen.

Das Behnke-Seminar in Münster.

(~1934 – 1970)

I. Ende Oktober 2008 trafen sich Mitglieder des ehemaligen mathematischen Kolloquiums am Behnke-Seminar zum ersten Mal in Münster wieder. Die Initiative hierzu ist Hans-Jörg Reiffen zu danken. Vor 110 Jahren wurde Heinrich Behnke geboren. Im Kontext eines solchen runden Geburtstages galt dieses Treffen auch dem Rückblick.

So ist es reizvoll, das einst sehr erfolgreiche Seminar- mit seinem bedeutenden mathematischen Kolloquium- von innen her und mit einigen farbigen Details aus heute beträchtlichem Abstand in Erinnerung zu bringen - sei es auch nur aus meiner eingeschränkten Sicht. Darüber hinaus wäre nach Gründen zu fragen für den einmaligen

Erfolg dieses Seminares.

Unter „Seminar“ verstehe ich hier die Gesamtheit der an Behnkes Institut einst statt findenden Veranstaltungen. Geometrisch stelle ich sie mir in einem System von Kreisen vor, die teils ineinander, teils nebeneinander liegen: Abschnitt VI

II. Einige knappe Daten schicke ich voraus:

A) Heinrich Behnke: *9.Okt.1898 als Sohn einer Kaufmannsfamilie in Horn bei Hamburg, +10.Okt. 1979 in Münster. Prom.1922, Hab.1924 in Hamburg, ab 1927 o.Prof. für Mathematik in Münster. Anreger, Initiator (z.B.Semester-berichte), Herausgeber, engagiert (z.B. in der Universitätsleitung um 1949) in vielfältiger Weise.

B) Aus Behnkes „Seminar“ gingen hervor, etwa

400 Abschlußprüfungen ab 1945(geschätzt),

180 Staatsexamensarbeiten ab 1945(geschätzt: etwa 1963 hatte ich um die 130

Arbeiten in einem Abstellregal gezählt -Diplomabschlüsse in

Mathematik gab es damals kaum), je nach Zählweise etwa

60 Promotionen,

12 Habilitationen,

20 Schüler, die später Professoren für Mathematik oder Didaktik der

Mathematik, für Physik oder Philosophie wurden.

Zahllose promovierte Enkel und Urenkel.

C) Zeitweise arbeiteten an Behnkes Institut bis zu 5 Dozenten/Professoren. Ich nenne einige Namen aus der Zeit um 1960 und etwas später: Sommer, Rothstein, Tietz, Remmert, Holmann, Kuhlmann, Scheja, Spallek. Eigene Hilfskräfte, Schreibkräfte, Sekretärinnen hatte keiner von ihnen, eigentlich auch keine Schüler. Wer als Student/in mit Behnkes Institut zu tun hatte, „war“ Behnke-Schüler/in. Alles zentrierte sich um Behnke und seine Sekretärin.

D) Aus Behnkes Institut heraus wurden sehr viele Veranstaltungen, Vorlesungen, Seminare unterschiedlichsten Anspruchs und Typs angeboten, offizielle und auch weniger offizielle: So vor allem für jene, die Lehrer werden wollten oder schon Lehrer waren, dann für besonders Begabte, für Doktoranden oder Assistenten oder... Ein Semesterarbeitsplan des Institutes zeigt um 1963 ein äußerst reiches Programm .

Die beeindruckende Breite von Behnkes Engagement deutet sich schon hier an. Die Frage, was eigentlich das „Behnke-Seminar“ war, und was Behnkes Erfolg ausgemacht hat, lässt sich auf den ersten Blick nicht so eindeutig beantworten. Vielleicht gibt das Folgende eine Vorstellung. Bei meinen telefonischen Umfragen vor einiger Zeit fielen die Antworten - je nach Blickwinkel - unterschiedlich aus.

III. Bevor ich meine Sicht schildere, das heißt für mich besonders um die 60iger Jahre mit Behnke als zentraler Figur, skizziere ich drei Erlebnisse.

Erstens.

Behnke war ein echter Hamburger. Hamburg mit seinen Bürgern gilt seit alten Zeiten als zukunftsoffene, weltoffen-tolerante, zugleich nüchtern-tatkräftige Handels- und Kaufmannsstadt. Man liebt die Unabhängigkeit und weiß zu kalkulieren. Vermutlich liegt hier ein Grund für die einmalige Existenz der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, der ältesten Gesellschaft dieser Art in Deutschland, sogar der Welt, die seit ihren Anfängen ununterbrochen lebendig geblieben ist. Sie entstand Jahrhunderte vor der recht jungen Universitätsgründung in dieser Stadt.

Dazu fügt sich auch folgendes: Die Stadt hat bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts ihren großen und herrlichen mittelalterlichen Dom mit seinen besonderen Kunstschätzen verfallen lassen und Wertvolles in aller Herren Länder verschleudert, darunter die einmaligen Bilder eines Meister Bertram. Meine Fragen vor Jahren an Hamburger nach dem Ort des „Hamburger Domes“ gingen lange ins Leere. Außer vom Volksfest „Hamburger Dom“ wußten wohl nur wenige Eingeweihte etwas von einem wirklichen ehemaligen Hamburger Dom, gar von dessen Geschichte und Größe. - Erst in neuerer Zeit erinnerte Hamburg - nach einigen Ausgrabungen bei anstehenden neuen Bebauungen - mit Ausstellungen an Existenz und Verfall seines Domes. Kunstschätze, so jene des „Meister Bertram“, mußten von weit her zurück geliehen werden.

Zweitens.

Im Anschluß an einen Vortrag eines bekannten Mathematikers über seine bedeutendste Entdeckung habe ich ihn nach der Vorgeschichte zur Entdeckung gefragt. Mich interessierte u.a., wie stark der Dr.-Vater selbst in der Sache eingebunden gewesen sei. „Wenig“ war die Antwort. Er habe als Doktorand ganz für sich gearbeitet. Seine Dr.-Arbeit wäre am Ende anders ausgefallen als das, wofür sich sein Dr.-Vater ursprünglich interessiert hätte. Sie wäre von einem Assistenten gelesen und für den Dr.-Vater vor-begutachtet worden. Sie galt zunächst (anders als später) als nicht besonders interessant. – So oder ähnlich kann es überall gewesen sein, auch an Behnkes Institut: Anregungen und Betreuungen konnten sehr knapp und mit nicht konkretem Ziel sein, etwa von der Art: „Lesen Sie mal dieses oder jenes Buch“. Sie gingen von zugehörigen Dozenten oder eher Assistenten aus, oder hatten beim Doktoranden ihre Wurzeln. Der ging eigene Wege. Eventuell nach Zwischenberichten im Kolloquium legte man eines Tages seine Arbeit vor. Behnke bestand nicht auf abschließenden Resultaten. So konnte ich das, was ich schon früh vermutete oder auch wusste, nach der Promotion in größerem Rahmen ausarbeiten.

Drittens.

Nach dem mündlichen Rigorosum zum Dr.-Examen bei Behnke fragte mich dieser erstaunt, wo ein bestimmtes, von mir präsentiertes Detailwissen nachzulesen sei. Meine Antwort: Im neuen „Behnke-Sommer“, dem Funktionentheorie-Buch einer Veränderlicher, das damals gerade an Behnkes Institut von Sommer und weiteren Mitarbeitern neu bearbeitet wurde. Ich bin im Vorwort als Mitarbeiter auch genannt, ohne einen so wesentlichen Beitrag wie etwa Günter Scheja geleistet zu haben. Aber ich kannte das Buch deshalb sehr gut. Wir wurden eben früh in verantwortliches Tun eingebunden. Bei Pannen hielt Behnke seine Hand über uns.

IV. Jetzt komme ich zu dem im Titel genannten äußeren Behnke-Kreis.

1. Schon in der Oberprima wurde ich 1953 durch eine Referendarin, die meine Interessen kannte, auf Behnke hingewiesen. Sie, vielleicht einmal Studentin bei ihm, zeigte mir eine seiner Vorlesungsnachschriften zur Infinitesimalrechnung (wie die Analysis-Vorlesung damals hieß). 2. Die Mutter einer Mitstudentin hatte schon in den 30-iger Jahren mit Freundinnen bei Behnke in Münster studiert, schon damals in recht vollen Hörsälen.

So bereicherten mit den Jahren immer mehr Lehrer/innen die Schulen und Schulbehörden im weiten Umkreis von Münster, die Behnke von ihrem Studium her kannten. Von 1927 an lehrte Behnke, von Hamburg kommend, in Münster ohne Unterbrechung, sein Name war nach dem Kriege stadtbekannt. Natürlich auch bei Studenten anderer Fakultäten. So wurde ich auf Behnke hin angesprochen, sobald ich mich als Mathematikstudent zu erkennen gab.

Den Studienbeginn zum Sommer 1954 empfand ich als bedrückend. Zwar war die wesentliche Aufbauleistung im einst völlig zerstörten Münster schon geleistet, das Schloss mit der dort beheimateten Mathematik war glanzvoll wieder aufgebaut. Doch noch nicht lange davor mussten angehende Studenten als Vorbedingung für ihr Studium Aufbauleistungen erbringen, gab es Seminare in Abstellräumen.

Nun aber begannen die Studentenzahlen in Anfängervorlesungen zu explo-dieren. In Mathematik stiegen sie auf 200 bis 250 zu meiner Anfangszeit, bis zuletzt auf über 600 in der 2ten Hälfte der 60iger Jahre. Ich saß in Sommers Vorlesung zur analytischen Geometrie in einem randvollen, von der Sonne aufgeheizten Hörsaal unter dem Dach des Schlosses. Von einer kleinen Schule kommend, fühlte ich mich in lieblose Massen-Anonymität versetzt.

Als Hörer eines von Behnkes Dozenten wurde man vom Chef bald zu einem Vorstellungsgespräch gebeten und war fortan in seiner Kartei - und der ersten Anonymität enthoben. Wegen seines enormen Namens-Gedächtnisses

vermochte er die meisten seiner Studenten namentlich anzusprechen. Auf dem Schloßplatz konnte er über Entfernungen hin zurufen: „Guten Tag, Herr Schmidt-Oelde“. Wobei er wegen der vielen Schmidts den unterscheidenden Ortsnamen anfügte. Man wurde auf diese Weise persönlich in einen großen Behnke-Kreis eingebunden, also ein Behnke-Schüler. Seine stattliche, große Erscheinung, geschmückt mit einer Blume am Revers, überragte alle und war nirgends zu übersehen. Vornehme „Erste Klasse“ war seine Art.

Sein Gedächtnis prüfte Behnke gern an Straßenbahn-Fahrplänen (von Städten nicht nur aus Deutschland), die er auswendig kannte. Nichts erfreute ihn so wie ein Straßenbahnfahrplan, der ihm aus dem Ausland, etwa aus San Franzisko, von einem Schüler zugeschickt wurde.

Auch in seinen Vorlesungen versuchte Behnke, möglichst viele Zuhörer direkt zu erreichen. Er wandte sich gern an die hinteren Reihen. Einfachere Passagen breitete er genüsslich aus, schwierigere Stellen verkürzte er, versichernd, dass alles seine Richtigkeit habe und im Übrigen im Skript nachzulesen sei. Zu fast allen Vorlesungen aus seinem Institut gab es Skripte, die von Assistenten

laufend überarbeitet wurden, manchmal mit wesentlichen Änderungen. Behnke nahm es mit Fassung. Als ich einen damals üblichen Fehler bei der Bestimmung der Krümmung-Null-Flächen im Skript korrigierte, klagte Behnke scherzend, ich hätte ihm seine schöne Klassifizierung verdorben. Bücher gab es in jener Zeit noch kaum, - oder sie waren für das schmale Studentenbudget unerschwinglich teuer. Preiswerte Skripte mit ihrem begrenzten und wohl definierten Inhalt wurden vom Prüfling, aber auch vom Prüfer dankbar angenommen. Sie erleichterten die wechselseitige Abstimmung. Behnkes Analysis-Skripte lieferten später die Vorlage für Forsters weit verbreitete Analysis-Bändchen. Etliche studentische (weibliche) Schreibhilfen waren eingestellt, um die Skripte zu tippen. Damals ein mühsames Unterfangen.

Den Kontakt zu seinen Studenten suchte Behnke auch außerhalb des Lehrbetriebes. Etwa beim jährlich vom Institut arrangierten Tanzfest der Mathematiker, oder bei der Sommerwanderung nach Telgte. Mit Hund, Hut und Spazierstock - und der Nelke(!) am Revers - ging er alle überragend voraus.

Als die Anfängervorlesungen in der 2. Hälfte der 60iger Jahre zahlenmäßig explodierten, versuchte man - u.a. mit Hilfe sog. „Studienräte im Hochschul-dienst“ - die schon immer bestehende Kluft zwischen Schul- und Hochschul-Mathematik didaktisch zu überbrücken. Behnke stieg in diese neuen Versuche sofort ein. Sie führten zu neuen Assistenten- und Hilfskraft-Stellen. Diese und andere Bemühungen - so die Einrichtung akademischer Rats-Stellen - haben sich jedoch nicht -wie anfänglich erhofft- bewährt. Noch immer wird die Kluft geklagt.

Wer von den Studenten es „milder“ mochte, fand unter den Dozenten, Vorlesungen und Seminaren aus Behnkes Kreis das für ihn Angemessene. Schärfere Kost gab es zur Auswahl ebenso. Was die einen als zu langweilig oder dünn oder auf der anderen Seite als zu grausam oder schwer empfanden, erfreute gerade die anderen.

Behnke schätzte diese Breite und respektierte alle, auch wenn er sicher zu unterscheiden wusste. In Vorlesungen zu verkünden, daß die Mehrzahl der Zuhörer hier am falschen Platze sei, gehörte nicht zu seinem Stil. Den gab es freilich auch. Er dagegen versuchte, Mut zu verbreiten.

V. Dies sind nun die eingangs erwähnten inneren Kreise:

Zunächst nenne ich das mathematische Didaktik-Kolloquium, das wohl älteste seiner Art in Deutschland. Die Ursprünge liegen in den 50iger, gar 30iger Jahren. Angehende oder schon gestandene Lehrer/innen fanden hier eine Heimat. Donnerstags (meistens), beim Klingelton pünktlich um 17.15h. zog Behnke mit einem Troß von Studienräten, Direktoren, Schulamtsleitern im schon gefüllten großen Hörsaal ein und besetzte die erste Reihe. Diese mußte, das wusste jeder, frei gehalten werden.

Als Behnkes Assistent (offiziell zur Didaktik) und gelegentlicher Zuhörer habe ich dort auch vorgetragen. In Erinnerung habe ich Vorträge von Steiner, damals Studienrat an einer Schule in Münster, über logische und mengentheoretische Grundlegungen für den Schulunterricht und deren - natürlich erfolgreichen - Einsatz. Auf diesem Wege machte Steiner später eine große Didaktiker-Karriere. Dann gab es Vorträge von Griesel zu einer Einführung der Brüche in der Schule auf dem Wege über Operatoren. Diese Welle kam aus Amerika und galt als psychologisch begründet. Griesel versuchte, eine mathematische Fundierung zu geben und machte als Didaktiker ebenfalls Hochschulkarriere.

Heute sind diese und andere der damals Aufmerksamkeit erregenden Versuche durch weitere Wellen überrollt. Behnke hielt sich augenzwinkernd aus solchen Inhalten heraus: Ach Herr Spallek, wir wissen doch….

Zusätzlich gab es noch das jährlich stattfindende große mathematisch-didaktische Pfingsttreffen im Schloß, eine Art Lehrerfortbildung in den Pfingstferien (später in den Herbstferien): Mathematik-Lehrer/innen trafen sich -auf eigene Kosten!- in großer Zahl (um die 200) aus nah und fern, von Altgedienten mit Examina sogar aus der Vorkriegszeit (und meist bei Behnke abgelegt), bis zu gerade frisch examinierten Lehrer(inne)n. Dabei erwiesen sich Behnkes gute Kontakte zu den Schulkollegien als sehr nützlich.

Nicht vergessen sollte ich Kurz-Seminare für ausländische Lehrergruppen. So trug ich vor einer belgischen Gruppe vor, deren Dankesgeschenk noch heute in meinem Bücherschrank steht.

Auch nicht unerwähnt seien die zahlreichen Seminare für Lehramtskanditaten.

Für die meisten bildete diese Reihe von Veranstaltungen zur Lehrer(-aus/-fort)-bildung das Behnke-Seminar.

Weltweit berühmt war das Behnke-Seminar (oder die Behnke-Schule) durch seinen zentralen rein mathematischen Kreis:

Behnke hatte sich in den 30iger Jahren der Funktionen-Theorie, vor allem jener mehrerer Veränderlicher zugewandt. Nach ersten stürmischen Anfängen (u.a. durch Osgood, Hartogs) war es hier ruhiger geworden. Durch Behnke und seine ersten Schüler (Thullen, Stein, Sommer, Rothstein,..) und besonders durch die französische Schule um H. Cartan begann seit den 30igern ein neuer großartiger Aufschwung, der nach dem Kriege geradezu explodierte. Zu dem führenden H. Cartan mit seinem Kreis kamen aus Behnkes Umgebung u.a. Hirzebruch, Grauert, Remmert entscheident hinzu. Auch in den U.S.A. gab es einen enormen Aufbruch. Mit vielen einflußreichen Mathematikern pflegte Behnke gute bis herzlichste Kontakte, vor allem zu H. Cartan schon seit der Vorkriegszeit. Behnke hatte den richtigen Spürsinn. Seine Schüler wuchsen in ein internationales Geflecht hinein.

Interessierte, begabte junge Studenten fühlten sich von dieser Atmosphäre angezogen, vor allem von den jungen, aufstrebenden Assistenten und Dozenten um Behnke. Diese sammelte er gezielt um sich. Für das Gelingen sorgte nicht zuletzt sein organisatorisches Talent. Er konnte immer wieder neue Dozentenstellen, Assistentenstellen, Hilfskraftstellen, aber auch neue Räumlichkeiten - etwa in einer Baracke vor dem beengten Schloß – an sich ziehen. Dabei kam ihm auch sein didaktisches Seminar zugute. Die hierfür ausgewiesene zusätzliche Assistenten-Stelle z.B. besetzte er gern mit seinen jungen Mathematikern an Stelle eines angehenden Didaktikers. So hatten für jeweils einige Zeit Grauert, Kuhlmann, Storch und ich diese Stelle inne.

Daneben -und nicht zuletzt! - sorgte eine bestimmte innere Organisation für den Erfolg von Behnkes Seminar, eine Art Selbstläufer:

Den Kern bildete das an jedem Samstag stattfindende mathematische Kolloquium. Man konnte auf verschiedenen Wegen in diesen Kreis aufgenommen werden, in jüngeren, aber auch noch in höheren Semestern: Leistungen in Vorlesungen, Seminaren, Prüfungen oder bestimmten Kursen, vielleicht auch Zufälligkeiten dienten als erste Basis. Angesprochen wurde man etwa von Dozenten, eher von Assistenten aus Behnkes Institut. Der Neuling im Kolloquium war erst Hinterbänkler und lauschte von dort fasziniert und vorerst mit wenig Verstehen den raketenartig in die Höhe schießenden Vorträgen über neue Resultate. Ein Trost: Nicht ganz so anders erging es auch Sommer, wie dieser einmal gestand. Aber vielleicht auch Behnke, der uns Hinterbänklern gelegentlich helfen wollte, indem er - „an die hinteren Reihen“ gewandt - irgendwelche elementaren Dinge in alter Sprache erklärte. Oft waren die Vortragenden auswärtige Gäste, oft etablierte Behnke-Schüler. Sie kamen aber auch aus dem engeren eigenen Kreis am Ort. Erwähnt seien die für mich wichtigen Vorträge von Thimm (zuletzt Kaiserslautern), die er über seine Primärzerlegungen bei anlytischen Garben hielt, ja zelebrierte: Vor der Tafel entlang schreitend, den Blick zur Decke gerichtet.

Der Kolloquiums-Raum war nicht groß: Zwei getrennte Tischreihen mit je vier Tischen hintereinander und zwei Plätzen je Tisch, meist nicht voll besetzt. Vorn rechts, zur Mitte hin saß Behnke, rechts daneben saßen Sommer oder Rothstein. Die Plätze vorn links waren oft für Gäste bestimmt. Nach hinten ging es in der Hierarchie abwärts. Kein großer Kreis also. Ab Mitte der 60iger konnte es hier voller werden. Zusätzliche Stühle wurden nach Bedarf heran geholt. Zum Kolloquium traf man sich immer am Samstag von 9h bis 11h. Danach folgte eine ausgedehnte Kaffee-Runde im Schlosskeller, in der Behnke das gekonnte Wort führte. Nur einmal erlebte ich, dass er darin übertroffen wurde: Von Reidemeister, der als Gastredner gekommen war und den Behnke schon aus seiner Hamburger Zeit kannte. Bei größeren Anlässen trank man auch Sekt.

Zu Sternstunden des Kolloquiums wurden große Feierlichkeiten wie jene aus Anlass der 50ten Promotion bei Behnke. H. Cartan war dann einer der herausragenden Vortragenden im Festsaal des Schlosses.

Um das Kolloquium gruppierten sich verschiedene andere, mehr inoffizielle Kreise, die oft sporadisch entstanden, in denen aber das Entscheidende geschah. In ihnen trafen sich begabte junge Studenten bis zu den habilitierten Assistenten. Frauen waren selten darunter, obwohl schon damals ein guter Teil (10 bis 30%) unter den Studenten weiblich war. - In sog. Steilkursen wurden in den 60iger Jahren ausgewählte junge Studenten von den jungen Assistenten „getrimmt“. Die Kursthemen fielen nach dem Geschmack des jeweiligen Assistenten aus und waren vor allem hoch modern. Wer durchhielt, konnte zum Korrektor von Übungsaufgaben und zum Hilfsassistenten, noch später evtl. zum Assistenten aufsteigen. Behnke beschaffte die nötigen Stellen. Die anderen wurden nicht einfach ausgestoßen, sondern auf zahmeren Wegen weiter geführt.

Nach „oben hin“ gab es neben dem ständigen gegenseitigen Austausch eigene Assistenten-Seminare. In einem solchen Seminar habe ich über Differenzier-bare Räume berichtet. Wir regten uns gegenseitig an, auch wenn wir jeweils eigene Wege in eigenen Richtungen gingen. Dazu kam der Ehrgeiz der „Baracke“, den Nachwuchs - besonders jenen aus den Steilkursen - zu fördern. Wir planten, arbeiteten und handelten sehr selbständig. Ich selbst habe etwa vier Steilkursler mit Themenstellung und Betreuung zur Promotion angeregt. Auch Kandidaten für das Staatsexamen haben wir betreut. Mir wurden zu begutachtende Arbeiten noch in die USA nach geschickt, als ich mich dort längere Zeit aufhielt. - Begünstigt wurden diese Umstände durch unsere tägliche Verbundenheit in der Assistenten-Baracke vor dem Schloß. Ein gemeinsamer Mittagstisch, Nachmittagskaffee und mancher Spaß am Nachmittag, der bis zum Übermut gehen konnte, gehörten neben der Arbeit dazu.

Behnke mischte sich in die „Baracke“ nicht ein, seine abschließende Unterschrift gab aber allem das erforderliche Siegel. Er vertraute uns.

Didaktisches und mathematisches Kolloquium verband ein weiterer wichtiger Kreis:

Während der Woche gab es vormittags im Schloßkeller die Instituts-Kaffee-Runde: Oft spontan auf Behnkes Wink hin, und mehr oder weniger ausgedehnt. Ein kaum hinterfragtes Muß. Hier fanden (fast) alle zusammen: Die mathematischen Hitzköpfe und die didaktisch Interessierten; die Dozenten, Assistenten und Studienräte im Hochschuldienst. Auch Gäste kamen hinzu, ältere Behnke-Schüler. Organisatorisches oder Belangloses wurde angesprochen, tiefergehende Fragen zur Mathematik kaum. Wichtig war, dass wir uns trafen. In der Regel sprach Behnke. Die anderen hatten kaum Chancen.

Dieses großartige Zusammenspiel macht für mich das Behnke-Seminar aus und war die Wurzel seines Erfolges.

VI. Abschließend würde ich das Behnke-Seminar graphisch in folgender Weise beschreiben:

Ich gehe von zwei sich schneidenden Kreisen aus: Der größere bezeichnet das mengenmäßig viel größere didaktische Kolloquium, der kleinere, aber viel kräftiger gezeichnete Kreis stellt das mathematische Kolloquium dar. Die Mittelpunkte beider sind durch eine schmale Ellipse miteinander verbunden, welche die tägliche Kaffee-Runde symbolisiert. Dem kräftigen Kreis sind die kleineren Kreise der Steilkurse und Assistenten-Seminare angelagert. Mit dem didaktischen Kreis hängen viele kleinere Kreise von Staatsexamens-Seminaren und anderem zusammen. Das alles wird schließlich umfasst durch einen großen Kreis von Behnkes weit reichendem Beziehungsgeflecht.

Zusammenfassend sehe ich in Heinrich Behnke eine große Hamburger Gestalt:

Er hatte einen guten Spürsinn für Mathematik, für das in der jeweiligen Zeit Erfolg Versprechende, dann für den richtigen Weg, diesen Erfolg mit den sich gerade bietenden Möglichkeiten zu fördern. Dazu gehörte, unterstützt von einem enormen Gedächtnis, seine Fähigkeit, Beziehungen aufzubauen und zu fördern, seine Geselligkeit, sein organisatorisches Talent, und sein Geschick zu delegieren und neuen Entwicklungen großzügig Raum zu geben. Noch einmal: Seine hohe Gestalt, geschmückt mit einer Blume am Revers, war nicht zu übersehen – wo immer sie auftauchte. Vornehme „Erste Klasse“ war seine Art.

Behnkes Schüler haben auf unterschiedliche Art versucht, ihm nach zu folgen. Unter anderem mit der Einrichtung von Steilkursen. Sie hatten in Teilen Erfolg, dann manchmal auch mehr als er. In seiner Breite aber kam ihm keiner gleich.

C) Papers, Students, Contents.

Part 0: Numbering and classification of published papers.

Numbers 01), 02),... refer to the "historical" numbering in the following list of papers with their titles. Symbols i), ii), iii),... indicate the direction of the content: i) Analytic (complex, real) geometry (Osgood-Hartogs-type theorems,...) ii) Differentiable Geometry: Differentiable Spaces, iii) Connections between differentiable and analytic geometry on analytic spaces, iv) Differentiable geometry with applications to other fields as to: Controltheory, Physics, Engineering,., v) Kinematics, Differential Geometry. vi) Algebra and Complex Analysis. vii) Mathematics and Philosophy,.... viii) Didactics (see also seperate list of didactical papers).

The following types of work are listed up:

Part I: Mathematics Part II: Didactics of mathematics, philosophy,.... Part III: Thesis-works of some of Spallek's students (17). Part IV: a) Diploma (masters)-works of others of Spallek´s students (>57). b) Staatsexamens-works of others of Spallek´s students (>38). Part V: Short description of the content of the papers of part I and part II. Part VI: Hierarchy of spaces.

Part I, Mathematics:

01) iii) Zum Spurproblem holomorpher Funktionen auf analytischen Mengen. Schriftenreihe des Math. Inst, der Univ. Münster. (1962).

02) i) Verallgemeinerung eines Satzes von Osgood-Hartogs auf komplexe Räume. Math. Ann. 151, 200-218. (1963).

03) i) Einige Untersuchungen über analytische Modulgarben. Math.Ann. 153, 428-441, (1964).

04) i) Tensorielle Beschränkungen analytischer Garben. Math.Zeitschr. 84, 448-463,(1964).

05) ii),iii) Differenzierbare und holomorphe Funktionen auf analytischen Mengen. Math.Ann. 161,143-162, (1965).

06) ii) Zur lokalen Geometrie in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlicher. Insbesondere: Differenzierbare Räume. Forschungsergebnisse aus dem 1. Math. Inst, der Univ. Münster. In: Forschungsberichte des Landes NRW. Westdeutscher Verlag, Köln, Opladen. (1966).

07) iii) Über Singularitäten analytischer Mengen. Math. Ann. 172, 249-268, (1967).

08) vi) Ein Hebbarkeitssatz in der Algebra. Math. Ann. 173, 1-23, (1967).

09) i) Zum Satz von Osgood und Hartogs für analytische Moduln I. Math. Ann. 178, 83-118, (1968).

10) i) - iii) Differenzierbare Kurven auf analytischen Mengen. Math. Ann. 177, Bd. 1, Heft 2, 54-66, (1968).

11) ii) Differenzierbare Räume. Math. Ann. 180, 269-296, (1969).

12) i) - iii), vi) Zum Satz von Osgood und Hartogs für analytische Moduln II. Math. Ann. 182, 77-94, (1969).

13) ii) Glättung differenzierbarer Räume. Math. Ann. 186, 233-248, (1970).

14) ii) Differential forms on differentiable Spaces. Notas de Matematica, No. 7, Universidad Nacional de la Plata (1969).

15) i) Funktionalanalytische Fortsetzungsmethoden. In B.-T.-Bericht: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band. 51, p.62-72, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York (1970).

16) ii) Some supplements to the theory of differentiable Spaces. Pubblicazione dell'Instituto Mathematico, Univ.di Genova, (1970/71).

17) ii) Differential forms on differentiable Spaces I. Rendiconti di Matematica (2),Vol. 4, Serie VI, 231-258, (1971).

18) ii) Abgeschlossene Garben differenzierbarer Funktionen. Manuscripta math. 6, 147-175, (1972).

19) ii) Beispiele zur lokalen Theorie der differenzierbaren Räume. Math. Ann.195, 332-347, (1972).

20) ii) The product-problem in differentiable Geometry. Fonctions analytiques de plusieurs variables. Colloque international du C.N.R.S. n° 208, Paris, 14-20 juin, Gauthier-Villars Editeur, 236-241, (1972).

21) ii) Differential forms on differentiable Spaces II. Rendiconti di Matematica (2), Vol. 5, Serie VI, 1-5, (1972).

22) ii) Zur Klassifikation differenzierbarer Gruppen. Manuscripta math. 11, 345-357, (1974).

23) i) - iii) L-platte Funktionen auf semianalytischen Mengen. Math. Ann. 227,277-286, (1977).

24) ii) Geometrische Bedingungen für die Integrabilität von Vektorfeldern auf Teilmengen des Rn. Manuscripta math. 25, 147-160, (1978).

25 iv) Kurven und Karten. B.I. Wissenschaftsverlag, Bibliographisches Institut, 265 Seiten, (1980).

26) i) Strong Approximation in Real Analytic Coherent Sheaves. Bollettino, U.M.I., (5) 18-A, 98-101, (1981).

27) i), ii).... Produktzerlegung und Äquivalenz differenzierbarer Raumkeime I. Complex Analysis Fifth Romanian-Finnish Seminar, Bucharest 1981. Springer-Lecture-Notes, Bd. 1014, S. 78-100, (1983).

28) i), ii) Produktzerlegung und Äquivalenz komplex-analytischer Raumkeime II. Complex Analysis Fifth Romanian-Finnish Seminar, Bucharest 1981 Springer-Lecture-Notes, Bd. 1014, S. 101-111, (1983).

29) ii) Differential Operators (Derivations) on Singularities. Complex Analysis and Applications, Varna '83 (Conf.), Bulgarian Academy of Sciences, Sofia (1985), p. 208-217.

30) ii) Foliations on Singularities. Complex Analysis and Applications, Varna '85 (Conf.), Bulgarian Academy of Sciences, Sofia (1986), p.643-657.

31 i). Productsingularities and quotients (Reichard/Spallek), in: X. Gomez-Mont, J. Sede, A. Verjovski (Eds.). Holomorphic Dynamics, Proceedings, Mexico 1986, S. 256-270 Springer-Lecture-Notes in Math. 1345, (1988), and: Productsingularities and quotients (Reichard/Spallek), in: D. Reidel Publishing Company, Lodz-Lublin, S.271-282, (1988).

32) iii) Differentiability implies analyticity on analytic and semi-analytic Spaces. Complex Analysis and Applications Varna '87 (Conf.), Bulg. Acad. of Sciences, Sofia (1989), p. 477-494.

33 i), vi) Osgood-Hartogs-theorems of mixed type (K. Spallek/T. Tworzewski/T. Winiarski), Math. Ann., 288, 75-88 (1990)

34) ii) Differentiable Groups and Whitney-Spaces. SERDICA Bulgaricae mathematicae publicationes, Vol. 16, p. 166-175, (1990).

35) vii) Subjectivity and pretence in modelling. Int. symp. on math. modelling, Proceedings Varna-Sofia, (1990).

36) ii) Foliations and singularities. In: Foliations and related topics (Conference), 1-3, Lodz, (1990).

37) ii) Continuous transformation groups on spaces. Int. conf. on analytic functions. Poland 1990. Annales Polonici Mathematici, 55 p. 301-320, (1991).

38) i), ii) Product decomposition of non reduced space-germs. Proceedings of the int. Workshop Wuppertal, 1990. Complexe Analysis. Dedicated to H.Grauert. In: Aspects of Mathematics, Vieweg S. 299- 305, Reprint (1991).

39) ii) Fortsetzungen von Blätterungen und Integration beliebiger Verteilungen. Complex Analysis-Seventh Romanian-Finnish Seminar Bucharest 1989. In: Revue Roumaine de Math. Pures et App., Bd. 36, Nr. 5-6,271-286, (1991).

40) vii), viii) Schein von Anschaulichkeit und Klarheit in der (Schul-) Mathematik.J.M.D. 12/91, 4, S. 471-479, (1991).

41) ii), i) Gluing of differentiable Spaces and applications (W. Sasin/K. Spallek). Math. Ann. 292, 85-102, (1992).

42) v) W-Gleitgleitkinematik. Manuscripta mathematica, 77, 293-319, (1992).

43) v) Kinematik in n-dimensionalen Räumen. Vom klassischen Schroten zur allgemeinen Gleit-Gleit-Kinematik (K. Friedrich/K. Spallek). B.I.,Wissenschaftsverlag, 245 Seiten (1993) ISBN 3-411-16631-2.

44) iv) On foliations and integrable distributions in Control theory (Z.
Bartosiewicz/K. Spallek). Proceedings of the second European Control-theory-Conference Ecc. 1993. June 28- July 1, 1993, Groningen, the Netherlands. J. W. Nieuwenhuis, C. Praagman, H. L. Trentelman, Eds., (1993).

45) iv) Quotients of Systems and differentiable Spaces (Z. Bartosiewicz/K.Spallek), Regensburg, (1993).

46) v) Kurven und Karten. Neue und erweiterte Auflage von 25). B. I.Wissenschaftsverlag, (1994), 295 Seiten ISBN 3-411-16902-8.

47) ii) Foliated differentiable Spaces: Stability and quotient structure (A.Piatkowski/K. Spallek). Rendiconti di Mathematica, Serie VII, Volume 13, 673-700, Roma, (1993).

48) ii), iv) Foliated differentiable Spaces with superdifferentiable and mixed manifolds as special cases. Complex Analysis-eighth Romanian-Finnish Seminar. Timisoara/Bukarest. Rumänien 1993. In: Revue Roumaine de Math. Pures et Appl.,Bd. 39,10, 981-989, (1994). E.Pascu/K. Spallek.

49) ii),iii),iv) Almost complex structures on Spaces, associated singularities and foliations, p. 1-19. In: Proceedings of the international Workshop at Sofia on: Almost complex structures. World Scientific Singapure, New Jersey, London, Hongkong, (1994).Ed. Dimiev, Sekigawa

50) ii),iv),v) Analysis auf Singularitäten. Seminarberichte aus dem Fach-bereich Mathematik der Fernuniversität Hagen. Band 49, S. 121-150, (1994).

51) ii) Locally integrable vectorfields on arbitrary reduced differentiable Spaces. In: Complex structures and Vectorfields,. World Scientific, London (1995), p. 1-23, Ed. Dimiev, Sekigawa.

52) ii) Differentiable Spaces as functored spaces. (K.Spallek/M. Jurchescu) Complex Analysis. 8th Romanian-Finnish Seminar. Timisoara. (1993). In: Rev. Roumaine de Math. Pures Appl., Bd. 40, 1, 1-9, (1995).

53) i) Double complex (dc-)spaces (M. Jurchescu, K. Spallek, F. Succi). In: Topics in complex analysis, differential geometry and mathematical physics. World Scientific. (1997), 81-93, Ed. Dimiev, Sekigawa.

54) ii), iv) Control theory with Singular state-space constraints. (with Z.Bartosiewicz). JMSEC, Vol. 8, Nl, (1998).

55) ii) Symplectic and almost complex structures on differentiable Spaces (together with U. Oesing). In: Aspects of complex analysis, differential geometry, mathematical physics and applications.. World Scientific Singapure, New Jersey, HongKong, (1999), p. 93-110.

56) ii) Remarks on some function theories on a class of almost complex manifolds, (together with S. Dimiev, D. Frankev). World Scientific. Singapure,....(1999), p. 111-120. Ed. Dimiev, Sekigawa.

57) ii),v) Kinematics and vectorfields on differentiable spaces. World Scientific. Singapure,... (2005), p. 1-34. Ed. Dimiev, Sekigawa.

Part II: Didaktik der Mathematik, Philosophie,…

Dl) Differentialgeometrie in Naturwissenschaft und Technik. MNU 31/2, 65-76, (1978).

D2) Eine inhaltliche Gestaltung der Gleichungslehre. Terme oder Abbbildungen und Funktionen. Math. Phys. Sem.berichte, Bd. XXV, Heft 2,S. 236-27,1 (1978) (zus. mit A. Brüning).

D3) Geometrisches Denken in der Analysis. Ber. aus dem Sem. f. Did. d. Math., S. 50-57, (SS 1979), Univ. Bielefeld.

D4) Analysis und geometrisch anschauliches Denken im Schulunterricht. MU 2 (1979), S. 45-69. (zus. mit A. Brüning).

D5) Einführung der Brüche ohne Operatoren. DdM 2, S. 116-130 (1981). (zus. mit A. Brüning).

D6) Zum funktionalen Ansatz in der Schulmathematik. Ein inhaltlich-operativer Zugang zum Funktionsbegriff. JMD, 1 (1983), S.3-38. (zus. mit N. Kiesow).

D7) Beispiele zum Mathematisieren im funktionalen Konzept. MNU, Heft 7, S. 406-412, (1983).

D8) Wankelmotor und Reuleauxsches Dreieck. MNU, Heft 1, S. 22-23, (1984).

D9) Dreieckskongruenz als Grundlage operativer Geometrie. Beiträge zum Mathematikunterricht. Vortrage auf d. 18. Bundestagung f. Did.d.Math., Oldenburg B. Franzbecker-Verlag, Did. Dienst, Bad Salzdetfurth, S. 297-308, (1984).

D10) Schöpfungsgeschichte der Mathematik. PM 27, Heft 3, S.174-175, (1985).

D11) Charakterisierungen algebraischer Eigenschaften von Normen durch geometrische Eigenschaften. Math. Sem.ber., Bd. XXXIII, Heft 1, S. 117-132, (1986).

D12) Ebene Geometrie und komplexe Zahlen. DdM 4, S. 301-320 (1987), (zus. mit L. Schmidt).

D13)-18) Schulbuchserie "Zahl und Zuordnung".(zus. mit A. Brüning) Schroedel-Verlag, Bd. 5-10, einschl. Lehrerhefte, (1980-1987).

D19) Operative Schul-Analysis als näherungsweises Berechnen mit Fehlerabschätzungen. MNU 42/8 (1989), S. 471-479, (mit A. Brüning).

D20) Schein von Anschaulichkeit und Klarheit in der Schulmathematik. Einige konkrete Beispiele. J.M.D. Heft 4, (1991), S. 471-479.

D21) Exaktifizierende mathematische Variationen zu einem sog. Paradoxon von Zenon. MNU 46/1, 9-12, (1992).

D22) Subjectivity and pretence in modelling. Int. Symp. on math. modelling, Proceedings Varna-Sofia, (1990).

D23) Das "Behnkeseminar" für Mathematiker: Vom äußeren zum inneren Kreis. Vortrag vor der Mathematischen Gesellschaft, Hamburg. (28. 01. 2005).

Part III. Betreute Dissertationen. Einige Veröffentlichungen.

Knoche, N. 1. Der Satz von Osgood und Hartogs in Polynomringen.
Schriftenreihe des Math. Inst. d. Univ. Münster, 41 (1969). 2. Der Satz von Osgood und Hertogs für reelle Funktionen. Jahresber. d. Dtsch. Math. Ver. 73, 138-148 (1971). 3. Ergänzungen zu: Der Satz.......................... Jahresb.. 75,138-148 (1974)

Schafmeister, O. Differenzierbare Räume. Math. Inst, der Univ. Münster, (1970).

Fensch,?. Einbettung kohärenter reellanalytischer Räume in Zahlenräume. Münster

Reichard, K. 1. Zum Satz von Osgood und Hartogs in der algebraischen Geometrie. Schriftenreihe des Math. Inst, der Univ. Münster. 2. Serie, Heft 8 (1974). 2. Nicht differenzierbare Morphismen differenzierbarer Räume. Manuscripta math. 15, 243-250 (1975). 3. Quotienten differenzierbarer und komplexer Räume nach eigentlich-diskontinuierlichen Gruppen. Math. Z. 148, 281-283(1976) 4. Über eine Vermutung von R.Thom. Math. Ann. 222, 251-260 (1976) 5. Quotienten analytischer und differenzierbarer Räume nach Transformationsgruppen. Habil.-Schr. Ruhr-Univ.-Bochum (1978). 6. Algebraische Beschreibung der Ableitung endlich mal stetig differenzierbarer Funktionen. Compositio Mathematica, 38, Fasc.3, 369-379,.79. 7. Roots of Differentiable Functions of one Real Variable. Journal of Math. Analysis and Application, 74, Nr.2,441-445 (1980). 8. Diffeomorphismen semianalytischer und subanalytischer Mengen. Compositio Mathematica, Niederlande, 42, Fase. 3,401-416 (1981). 9. Lokale Klassifikation von Quotientensingularitäten reeller Mannigfaltigkeiten nach diskreten Gruppen. Math. Z. 179, 287-292 (1982).

Christensen, N. 1. Beiträge zur Theorie der endlich differenzierbaren Funktionen. 44780 Bochum, Ruhr-Universität (1975). 2. On a theorem of Malgrange for finitely differentiable functions. Acad. Nazionale dei Lincei, Serie VIII, vol. LVI, fasc.6, Giugno (1974). 3. Zur Lojasiewicz-Ungleichung für differenzierbare Funktionen. Manuscripta mathematica, 20, 255-262 (1977).

Reinhardt, A. Einbettungen, Immersionen und reine Immersionen differenzierbarer Räume in Zahlenräume. Bochum (1977).

Wolking, W. Die Hausdorff-Dimension der singulären Mengen endlich erzeugter Kleinscher Gruppen. Bochum (1978).

Teufel, M. 1. Differenzierbare Strukturen und Jetbündel auf Räumen mit Singularitäten. Bochum. (1979). 2. Abstract prestratified stets are (b)-regular. Journal of Differential Geometry, 16, 529-536 (1981). 3. Glättung endlich differenzierbarer Räume. Manuscripta mathematica, 33, 37-49 (1980).

Kiesow, N. Einbettung von Räumen in Mannigfaltigkeiten minimaler Dimension. Bochum (1979)

Gall, R. Lokalkompaktifizierung topologischer Gruppen und lokalkompakte Fortsetzung von Transformationsgruppen. Bochum (1980).

Meier, K. P. Differenzialoperatoren auf differenzierbaren Räumen. Bochum (1983).

Leymann, F. Blätterung von Räumen mit Singularitäten. Bochum (1984).

Meier, H. Anwendungen der Theorie der lokalintegrablen Vektorfelder auf Räume mit Singularitäten. Bochum (1986).

Friedrich, K. Klassifikation von Bewegungsabläufen in Zahlenräumen durch singularitätenfreie und singuläre Parametermannigfaltigkeiten. Bochum (1990).

Haas, S. Zur Repräsentation von Differentialoperatoren auf eindimensionalen Singularitäten. Bochum (1993).

Himmelmann, J. Zur Geometrie differenzierbarer Quotientenräume. Bochum (1996).

Oesing, U. Hermitisierung symplektischer differenzierbarer Räume. Bochum (1996).

Part IV A) Diplomarbeiten, betreut in Bochum.

Barten,R.: Produktzerlegung von nicht-reduzierten Räumen. Diplom (1984).

Basiner,St.: Konstruktionen zum Devisionssatz von Malgrange für differenzierbare Funktionen. Diplom (1979).

Becker,A.: Verschiedene pseudo-holomorphe Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, zugehörige Blätterungen und Beispiele. Diplom (1991).

Christensen,N.: Zur Theorie der differenzierbaren Räume, Produkte und Ein- bettungen. Diplom (1975).

Bekemeier,R.: Holmann-Blätterungen im differenzierbaren Fall. Diplom (1988)

Deubner,S.: Bewegungsabläufe zu vorgegebenen Regelflächenpaaren (im Rⁿ ). Diplom 1987.

Dewender,T.: Zur Frage der Erzeugbarkeit von Differentialoperatoren auf reduziblen Singularitäten. Diplom (1993).

Düpmeier,C: Morse Theorie auf Räumen mit Singularitäten. Diplom 1984

Engelmann,D.: Fastkomplexe Räume. Diplom (1989).

Fritsch,M.: Verschiedene pseudo-holomorphe Strukturen und Blätterungen auf Räumen und deren Beziehungen zueinander. Diplom (1991).

Ferkinghoff, Chr.: m-dimensionale Ströme in n-dimensionalen Zahlenräumen.Diplom(1976).

Friedrich,K.: Gleitgleiten zeitabhängiger Parameter-Regel-mannigfaltigkeiten in bel.Zahlenräumen . Diplom (1987).

Gall, R.: Kompaktifizierung und Lokalkompaktifizierung von top. . Gruppen und Transformationsgruppen. Diplom (1977).

Gottowik,D.: Zweite Tangentialräume und kovariante Ableitungen. Diplom (1987).

Groß,E.: Lokalintegrable Vektorfelder und Anwendungen auf nicht-

reduzierten Räumen. Diplom (1989).

Haas,S.: Zur Repräsentation von Differentialoperatoren auf Singularitäten. Diplom (1990).

Heidenreich,J.: Über Beziehungen zwischen der Metrik -abhängenden Dimensionsfunktion d und der Überdeckungsdimension. Diplom (1976).

Herrmann,S.: Konforme Abbildungen auf Riemannschen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diplom (1991).

Himmelmann,J.: Finslermetriken: Zusammenhang zum Satz von Pythagoras. Diplom (1991).

Hofmann,B.: differenzierbare transversale Blätterungen auf hausdorffschen Räumen. Diplom (1992).

Hüttemann,Reinhardt: Spezielle Teilmengen des Funktionenraumes. Existenz spezieller Abbildungen in Zahlenräumen. Diplom (1974).

Kohlleppel,L.: Berandungen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Diplom (1976).

Klein, V.: Differenzierbarkeit in pseudotopologischen Räumen. Diplom (1976).

Lantermann,S.: Geometrische Bedingungen für die Euklidizität normierter Räume. Diplom (1989).

Leymann,F.: Blätterungen von Räumen im differenzierbaren Fall. Diplom (1982).

Lilienbecker,B.: Gleitgleiten von Parameterregelmannigfaltigkeiten unter konformen Bewegungsabläufen. Diplom (1991).

Lorenz,D.: Elektromagnetische Bianchi Universen. Diplom (1980).

Ludwig,M.: Glätten von Singularitäten diffb. Mannigfaltigkeiten. Diplom (1982).

Marquardt,H.: Über die lokale Struktur reeller Quadriken in Zahlenräumen.

Dissertation, Gutachter Prof. Sommer/2 .Gutachter Prof..Spallek (1981).

Marrek,N.: Lokalkompakte differenzierbare Gruppen sind schon Lie-Gruppen. Diplom (1983).

Meier, H.: Anwendungen der Theorie der lokalintegrablen Vektorfelder auf Räume mit Singularitäten. Diplom (1983).

Meier,K.-P.: Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten. Diplom (1982).

Mellis,W.: Euklidische Äquivalenz Kristollographisher Gruppen.

Dissertation Prof. Zieschang/ 2.Gutachter Prof. Spallek) (1981).

Montag,G. Kristallräume als Beispiel für differenzierb. Quotientenräume. Diplom (1994).

Mroß,M. Rummlerstabilität von Blätterungen auf differenzierbaren

Räumen. Diplom (1991).

Müller,L.: Krümmungen Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Diplom.

(1972).

Napps,M.: Die Krümmung auf Kurven und Flächen mit isolierten Singularitäten. Diplom (1988).

Noculak,R.: Der Satz von Elie Cartan. Diplom (1980).

Oesing,U.: Hermitesierbarkeit auf Räumen mit Singularitäten. Diplom (1993).

Ostermann,G.: Differenzierbare Abbildungen zwischen 2-dimensionalen Quotientensingularitäten. Diplom (1989) 1. Gutachter K.Reichard, 2. Gut. K.Spallek.

Pathe,P.: Quotientensingularitäten der Kristallgruppen des Raumes.

Diplom (1989) 1. Gutachter K.Reichard, 2. Gut. K.Spallek.

Pierburg,H.: Ein allgemeiner Ansatz zur Ableitung von Integralformeln in der Differentialgeometrie. Diplom (1982).

Priess,V.: Randverhalten meromorpher Funktionen.

Diplom (1972).

Redlich,B- Zur Theorie differenzierbarer Moduln. Diplom (1976).

RullkötterJ.: Differentialgeometrie - Untermannigfaltigkeiten im Rⁿ. Diplom (1972).

Serong, S.: Einige Lösungsmethoden für das Dirichletproblem. Diplom (1973).

Simanowski,U.:Lokale Probleme aus der Theorie der m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Diplom (1976).

Spieker,A.: Differenzierbare kovariante Ableitungen auf Räumen mit Singularitäten. Diplom (1992).

Strässer,R.: Abgeschlossene Hauptideale differenzierbarer Funktionen. Diplom ?.

Schleger,W.: Differenzierbare Struktur auf Räumen von Abbildungen. Diplom (1979).

Schneider-Dunio,U.: Stabilität transversal differenzierbarer Relationssysteme auf allg. Räumen. Diplom (1988).

Teufel,M.: Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für Normalenmikrobündel. Diplom (1975).

Tipp,J.: Morse-Theorie und Existenzsätze für periodische Lösungen

von Hamilton-Gleichungen. Diplom(1984) 1.Gutachter: Prof. Zehnder , 2.Gutachter: Prof..Spallek.

Toschke,R.-M.: Klassische komplexe Differentialgeometrie. Diplom (1976).

Weissbrodt,K.: Fasthermitische Mannigfaltigkeiten.Dipl.(1989)

Zimmek,H.: Nabelpunktverhalten von Flächen in numberspaces (in Abhängigkeit der Normalenrichtung als Sichtrichtung). Diplom (1988).

Zimmermann,R: Moduln unendlich oft differenzierbarer Funktionen. Diplom (1978).

Part IV B) Staatsexamensarbeiten, betreut in Bochum.

Ackermann,B.: Klassifizierung 2-dim. kompakter Mannigfaltigkeiten. Staatsexamen (1976).

Balthasar,M.: Mannigfaltigkeiten mit einfachem Krümmungsverhalten. Staatsexamen (1976).

Beckermann,E.:Charakterisierung der reellen Zahlen. Staatsexamen (1973).

Deeken,R.: Differentialformen und der Satz von Stokes. Staatsexamen (1968).

Doert,F.: Integralformeln auf 2-dim. Mannigfaltigkeiten.

Staatsexamen (1975).

Ernstheinrich,U.: Über das Verhalten der Gauß'schen Krümmung auf Minimalflächen. Staatsexamen (1977).

Freiberger,M-L.: Randverhalten analytischer Funktionen. Staatsexamen (1972).

Geradts,K.: Allgemeine Kurven im Raum. Staatsexamen (1985).

Groten,M.: Invariante Darstellung äquivalenter quadratischer Formen. Staatsexamen (1975).

Grzenia,Ch.: Zur Theorie der Eiflächen. Staatsexamen (1976).

Heinrich,B. Zahnrad-Verzahnung. Staatsexamen (1980).

Herboldt-Hufschmidt,T.: Zur Theorie der Verzahnung. Staatsexamen (1975).

Himmeröder,H.J.: Volumenberechnung niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten im Rⁿ. Staatsexamen (1976).

Hirsch,A.: Kartographische Netzentwürfe und ihre mathematischen Grundlagen. Staatsexamen (1983).

Holstermann,H.-E.: Minkowskischer Inhalt. Staatsexamen (1972).

Höwekamp,G.: Untersuchungen zu einem Analysis-Aufbau. Staatsexamen (1975).

Kiesow,N.: Einbettungen von Räumen in Mannigfaltigkeiten. Staatsexamen (1977).

Klaffke(Langenbrinck): Schulrelevante Beispiele aus dem Bereich der Kurventheorie in mathematischer Sicht. Staatsexamen (1983).

Krebs,W.: Homologietheorie. Staatsexamen (1975).

KusnierekJ.W.: Spezielle Kurven im Rⁿ der Differentialgeometrie. Staatsexamen (1975).

Liebau,A Verbiegung und Starrheit. Staatsexamen (1977).

Metz,M.: Invarianten der Kurventheorie.

Staatsexamen (1975).

Mosel,E- Funktorielle Konstruktionen in der Topologie; einige

Beispiele. Staatsexamen, ?

Naumann,H.-P.:Abbildungen differenzierbarer Räume. Staatsexamen (1972).

Palenberg,W.: Lebesguesches Integral. Staatsexamen (1972).

Pulte,H.: Anwendungen der Variationsrechnung in Physik und

Technik. Staatsexamen (1982).

RoeslerJ.: Spezielle Probleme der theoretischen Mechanik aus differential- geometrischer Sicht. Staatsexamen (1972).

Schmidt,L.: Ebene und räumliche Kinematik. Staatsexamen (1982).

Schmidt-Tobler,R.: Ein neuer Ansatz für eine allgemeine Integrationstheorie. Staatsexamen (1974).

Schulz,M.: Durch Kurvenscharen erzeugte Flächen. Staatsexamen (1975).

Tünte,L.: Komplettierungen in uniformen Strukturen. Staatsexamen (76).

Weisleder,H.-E.: Mehrdimensionale Fourier-reihen und F.-transformationen. Staatsexamen (1969).

Welskopp,H.: Zur Einführung der Integralrechnung. Staatsexamen (1973).

Westheide,H.W.: Anwendungen des Stokes'schen Satzes in der Vektoranalysis und Funktionentheorie. Staatsexamen ?

Wilkening,H.-D.: Grundlagen der theoretischen Mechanik aus differentialgeometrischer Sicht. Staatsexamen (1972).

Wülfrath,D.: Untersuchung affiner Abbildungen in reellen Räumen und Minkowski-Räumen. Staatsexamen (1978).

Zerm,A.: Über eine vereinheitlichte Theorie topologischer Strukturen.

Staatsexamen (1983).

Zurmühlen,G.: Topologische und differenzierbare Grundlagen der Analysis in numberspaces. Staatsexamen (1972).

Diplomarbeiten, Staatsexamensarbeiten, betreut an der Universität in Münster: ……more than 3?

Part V Content of published work under part I and II. Short descriptions. A) Mathematics

With the following short explanations of the series of papers listed under part I, two things become clearer: Three types of theories are developed, unfortunately sometimes only in small steps over several papers: 1) Differentiable spaces.(for ex. 11), 57)) 2) Osgood-Hartogs-type theorems for coherent sheaves on general complex spaces. (for ex.09)) 3) Principle: Differentiability implies holomorphy in complex analysis.(for ex. 01), 05), 10), 12), 32)). However: Too many basic problems are always left open.

01) iii) :

Weakly holomorphic function(germ)s on a (germ of a) complex analytic set are holomorphic iff their real parts are differentiable of some finite, sufficiently high order. Proof given for special cases. General case: 12)

02) i) :

Osgood-Hartogs-type theorems are proved for functions on reduced complex spaces. Obstructions to "holomorphy" appear and are empty only for special cases: numberspaces Cⁿ(complex), perfect spaces, complete intersections,...

03) i) :

In the context of Osgood-Hartogs-type problems one runs into certain “hulls” of coherent module-sheaves. They are studied here to some extend, for example with respect to coherence. Over “large parts” (and in general only there) these hulls are just the original sheaves.

04) i) :

03) is extended: For pairs of coherent sheaves: H contained in G, over some open D in some n-dimensional complex numberspace, certain "hulls" between H and G are defined, which are relevant in the context of Osgood-Hartogs-type problems for pairs (H, G)_, H in G , of sheaves: Sections in one of the “hulls” are exactly those in G, whose “restrictions” to certain “test-sets” are contained in the corresponding “restrictions” of H. The relations of these to H and G (:how "close" to H) are described. One obtains answers to Osgood-Hartogs-type problems for sections in G in relation to H (: how "close" these are to H ).

05) ii) and iii) :

The notion of a "reduced differentiable Space" appears in the context of complex analytic sets viewed together with differentiable functions as reduced differentiable spaces. Especially it is shown, that weakly holomorphic functions on a complex analytic germ X, whose real part is 0-N-approximable (for example C-N(continuous N-times)-differentiable) of some finite, but sufficiently high order N in all points of X (i.e. near p) is holomorphic near p outside of an obstructional subset of X of codimension larger than 2. This set is shown to be empty in many cases. Moreover, such types of theorems are also proved (more generally) for pairs of module sheaves H in G. It is noted at the end, that for sufficiently high order N the obstructional set is always empty (to be proved in a much broader context in the subsequent paper [09] with its application [12]). 05) extends 01) in bringing together complex and differentiable (space) geometry on analytic sets.

06) ii) :

Reduced and non reduced differentiable spaces (for all classes of differentiability) are introduced in full generality. Some results are indicated. To be extended in a subsequent paper: see 11).

07) iii) :

Another step is given in bringing together complex and N-differentiable (space) geometry. For example a series of different C-N-tangent cones to an analytic germ X is described in relation to each other and to the singularity of X. Especially also the behavior of differentiable curves on X is studied. This last problem is brought to final results in 10), while different aspects of certain tangent cones are brought to final results in 12) resp. in 24). An irreducible complex analytic germ X, containing a k-dim. differentiable manifold, k = d: = 2dim_CX -l, is a manifold? Yes for d=1( see 10)) and k=d+1.

08) vi) : An algebraic extension is given to the so called "Riemannscher Hebbarkeitssatz": A section S in a sheaf G is already a section in a subsheaf H in G iff it is in H outside of some "small" subspace. Hence, such subspaces are in effect no obstructions. These types of results are involved for example in Osgood- Hartogs-type problems. The results are described in terms of primary decompositions. With these some different "hulls" H(r) between H and G are defined, which describe "how close H(r) to H is". Often they are already just H. The results are applied to complex variables.This paper extends ideas due to Thimm.

09) i) :

A general theory of Osgood-Hartogs-type results for sheaves on (not necessarily reduced) complex spaces X is developed with complete results: If certain restrictions of a section S in a coherent sheaf G on some family of test objects (which for example generalize axis-parallel lines in the classical Osgood-Hartogs-theorem) are in the corresponding restrictions of a given subsheaf H in G, then S is a section of some "hull" H_r between H and G, which in a precise sense is “r-close to H”. Here r depends on the dimensions of the testing objects. In precise cases we have H_r = H. The theory of these hulls, which started in 04), 08) for some simpler cases is brought here to final solutions for arbitrary spaces X: coherence of H_r, dependence from r. These H_r are described in two ways: Analytically via "extension properties", algebraically via primary decompositions. For example we obtain the following O.-H. - variant: There exists a locally bounded function N from X into the natural numbers such that: For any open D in X, any section S in G over D, such that at each point p in D the germ S_p of S at p is contained in the stalk H_p up to the order N(p), then S is in H over D. Special cases: H = zero-sheaf 0; more over: specialize to the case G = structure-sheaf on X. This last case is (only!) for reduced spaces (with N identically 1) trivial. Two types of Osgood-Hartogs-theorems are discussed: In the first type, the testing sets are axis-parallel r-dim. complex analytic "lines" with respect to some pseudochart (proper, open mapping into Cⁿ with finitely many inverse-points of points of some open U) near a given point. In the second type, the testing sets are r-dim. analytic lines (with respect to some pseudochart), all passing through a fixed point. In general in both cases obstructional sets of codimension ≥ r +1 appear, such that a section from the bigger sheaf G, which -when restricted analytically (tensorial) on to each set of the testing family- is contained in the corresponding restrictions of the smaller sheaf H in G, turns out to be a section in H only outside of the obstructional set. Under certain conditions on H in G (primary decomposions of H with respect to G , homological co-dimensions) these sets are empty. The results are sharp. Note: Testing in the non reduced case means higher order testing. The order then is the order of un-reducedness of the given space plus 1. A reduced space is unreduced of order 0.

Problems: X was always assumed to be “pure-dimensional”. What happens in other cases, also in real analytic cases? What about coherence of those sheaves between H and G, whose sections locally satisfy the testing property?

10) i), ii), iii) :

If a differentiable curves C approximates at p in some real numberspace some semi analytic set X "geometrically sufficiently-depending on N below- good, then there exists an analytic "half”-curve on X, which is approximated by C also "geometrically sufficiently" (but in general less) good. Especially: If C is a regular curve, with one half on X, then to any given order N there exists on X an analytic "half” - curve having at p the same taylor-series description as C up to the order N. Esp. the analytic "half”- curve is regular. If X is analytic, then "half” can be dropped.

11) ii) :

"N-differentiable spaces" are introduced in a general setting for any class of differentiability N = l,2,..,∞,w ,w* (N = w means real analytic, N = w* means complex analytic) and reduced or not reduced. For N = w (resp. = w*) the w-differentiable (w*-differentiable) spaces are more general than real (resp. complex) analytic spaces: No coherence is required, the underlying topological spaces may locally be arbitrary subsets in some real (resp. komplex) numberspace. For example semi-analytic or subanalytic spaces are w-differentiable spaces. A series of first basic definitions and corresponding properties and results as basis for further developments is established. See for example the assumptions (properties) A₁ – A₄, which are relevant especially in the non reduced cases. Differentiable mappings, embeddings, immersions, submersions, retractions, diffeos,... between differentiable spaces are defined, topologies on their "function" spaces, correspondences between n-tuples of such functions and mappings into numberspaces are described. Different tangent spaces (of different geometric relevance) are introduced, and the relation of one of them to the local embedding dimensions of a space is established. Retractions are studied to some extend. Especially: If r: X —> Y is a retraction of spaces then: If X is reduced or satisfies some other relevant properties (A_j or "is a manifold"), then also Y satisfies the same property. This holds especially for diffeos (as special retractions). Differentials are defined and their relation to immersions, submersions, retractions, diffeos is established. Sard's theorem, partition of unity, embedding-, immersion-,...,..-theorems are extended to spaces, also with respect to "quantity": There are "many", when measured with appropriate topologies on the “function-spaces” of differentiable spaces. For all this in the non reduced case certain of the basic properties A₁ – A₄ are always relevant (and are essential, as is shown later in 19)). Special non reduced spaces are so called "Whitney-spaces", where "functions" are those in the extended sense of Whitney. Especially X= {0, P[[x]]} is a Whitney space. Here 0 means the zero-point, and P[[x]] the ring of formal power-series in some real number space Rⁿ. More generally: A non reduced space can be seen as a family of algebraic objects, which are differentiable parametrised along a reduced space.

12) i), ii), ill), vi): 09) is applied to different cases: 1) Connections between differentiable and complex structures on complex spaces X, bringing partial results of 01), 05), 07) to some final solution. For example: There exists a locally bounded function N from X into the natural numbers such that: For any open D in X, f weakly holomorphic on D with its real part 0-N(p)-approximable (for example C-N(p) (continuous N(p)-times)-differentiable) at each p in D then: f is holomorphic.

1) Osgood-Hartogs-type theorems for modules over polynomial rings.

2) Osgood-Hartogs-type theorems for functions on reduced and non reduced complex spaces.

13) ii) :

Differentiable spaces can be "smoothed" to spaces with better properties (for example improving the class of differentiability: A full, correct prove of this is given later by Teufel (1979 resp.1980)). It is also shown there, that uniqueness in lifting the class of differentiability does not hold for spaces as it does for manifolds).

14) ii) :

First definitions and results are given concerning some type of differential forms: contractions, products, cohomology sequence and exactness (from some degree on) on reduced and non reduced differentiable spaces.

15) i) :

A report is given concerning new results of Osgood-Hartogs-type as well as on new integral-formulas, especially of the abstract type, together with applications of such formulas.

16) ii) :

14) is carried on. It is also shown however, that for spaces i.g. one does not have products and certain other results known for manifolds. So one needs also weaker forms of products (so called pseudo-products) and contractions.

17) ii) :

Here together with its second part 21), problems around different types of differential forms, of retractions, of products, exactness of cohomology-sheaves (extended “De- Rham cohomology”) on reduced and non reduced spaces are brought to a first final level. Important open problem: Does exactness imply contractibility (the other direction holds)?

18) ii) :

Connections between certain properties of sheaves of tuples of differentiable functions on spaces are established: closedness, “pointwise finitely generated”, “locally finitely generated”, certain systems of generators. For example in cases N smaller or equal to infinity closedness and pointwise finitely generated imply locally finiteness; closedness implies the important property A₃ (and even more). Emphasis is laid especially on the 1-variable case.

19) ii) :

N-differentiable Standard spaces are introduced as those spaces, satisfying A₁ –A₄ from 11). A series of counterexamples shows, that without some of the important assumptions A₁ –A₄ in 11), several of our basic results do not hold. For example without A₃ products do not exist for spaces, also there is no connection between the dimensions of the (Zariski-) tangent cones to the local embedding dimensions of a space. Also morphisms of N-differentiable spaces as ringed spaces need not be differentiable in case N is finite. The same holds if N is infinite, as K.Reichard has shown (1975). Open question: Are there bimorphisms in infinite case, which are not differentiable. In the reduced case however one does not have such problems (which is trivial), also not for standard spaces, as is shown. Reduced spaces are standard spaces (without A₁, which is not relevant in this case).

20) ii) :

A rigorous, extended treatment concerning existence and non existence of products in differentiable geometry.

21) ii):

A different, more geometric type of differential forms on differentiable spaces (in relation to certain stratifying properties) is introduced, and 17) is extended to this case. For this, different types of stratifications are introduced, the strongest being the Whitney stratification (but which in general is too strong and also not needed in most cases). De-Rham-cohomology on this level of forms.

22) ii):

Differentiable groups are groups in the category of differentiable spaces. Examples are formal groups, dense subgroups of Lie groups and some mixture of these. We claim, that this is essentially all. This paper gives a first step, showing that any differentiable group has a unique extension to a locally compact differentiable group (i.e. satisfying A₁, that is: the underlying space is locally compact). It is announced, that the underlying reduced space red(-) of this extension is a Lie group (to be proved in a more general setting of transformation groups on arbitrary spaces in 37). Such extensions exist even for arbitrary spaces, but without uniqueness (19)).

23) i), ii), iii) :

An analytic function on a semi analytic germ in some numberspace, which is flat of some order k, can be extended to an analytic germ in the embedding numberspace , which is flat there of some order k´ smaller or equal to k. k has to be chosen in dependence of a given k´. For the complex analytic case this was proved already in 12), 1.1.5.

24) ii) : Vectorfields on spaces in general do not have integral curves. Those for which through each point of the domain of definition passes an integral curve are called locally integrable. The tangent-vectors, through which passes a locally integrable field (existing nearby), are called locally integrable. The spaces of these vectors are shown to be vector spaces. Moreover: The sheaf of germs of locally integrable fields is shown to be a Lie-algebra sheaf. And a field is locally integrable, iff it takes only locally integrable vectors as values. Finally: On each space there exists a unique "coherent" foliation (see also 39) into (1-1-immersed) connected manifolds, whose tangent spaces are exactly the locally integrable tangent-vector spaces of the space. The existence of many locally integrable spaces (where each germ of a field is locally integrable) is established (besides the trivial case of manifolds): spaces which are "analytic by geometric form". Special cases are of course analytic spaces with their analytic (N = w,w*) respectively differentiable (N finite or infinite) structure. The cases N = w,w* are more or less trivial by some easy power series argument (H.Rossi), the other cases are of geometric nature (hence also the analytic case) and are more involved. They cannot be proved via Rossi due to the existence of non-zero flat functions. For locally integrable fields (and only for these) Frobenius type results hold (even more: see .39). Rigidity-theorems hold. In this paper for most cases it is assumed that N is not finite, and that all spaces are reduced. The other cases are more involved and will be proved elsewhere (see 49) and 52): With appropriate changes of definitions, proves and results, the situation finally is similar. For important applications see 27), 28), 31).

25) iv):

Modern treatment of curve-theory and problems connected with the existence of special charts and mappings on manifolds (especially on the surface of the earth). All this is done in connection with and with emphasis on series of concrete, relevant applications in ingeneering, physics, mathematics. (new, extended edition in 1994, see 46)).

26) i):

Results of the italian school on approximations in real analytic sheaves are extended to more general cases.

27) ii), i):

Uniqueness of product-decompositions of reduced C-N-differentiable space germs are established for N =∞ , w, w* and for space germs which are "curve rich", especially where the underlying space is sub analytic, semi analytic, real or complex analytic: Each N-differentiable space germ X has a unique p-decomposition X = X₁ x...x X_k x R^s (with complex C^s instead of real R^s numberspace in cases N = w*), where k,s and (up to numbering and C-N-diffeos) the X_i are unique. The existence of such decompositions is rather trivial (using properties of tangent-spaces only), the uniqueness is more involved and is proved geometrically with the help of the theory of locally integrable vectorfields from 24). Special cases are, when X is a real analytic, even a coherent real analytic or a complex analytic space germ, considered together with real analytic respectively complex analytic mappings. The last case was proved by Ephraim via several papers, using deeper complex analytic methods, starting with coherence. This was later extended by Becker to coherent real analytic germs. Extending 24) (as in 49), the results in 27) can be extended also to cases of finite differentiability (see 49)).

28) i), ii):

27) is applied for the classification of complex space germs, which are C-infinite -equivalent. Results of Ephraim are extended by this.

29) ii):

Differential operators on differentiable spaces are defined in different ways, which in general lead to different objects. On standard spaces (see 19)) - and in general only there - they coincide. A series of results concerning operators on 1-dimensional reducible space germs is described, which refer to properties of "finite generated" as module or as algebra. Astonishing phenomena appear in the C-infinite -case. This paper is essentially a report on the thesis of K.P. Meyer, written in 1982 at Bochum university.

30) ii) :

Foliations on reduced N-differentiable spaces are introduced in different ways, where the leaves are manifolds of some same dimension. Stability results, known for manifolds X, are extended to spaces, with new phenomena appearing here: two holonomy groups appear (a "formal" and a "geometric" one). "Finiteness" of such groups leads to stability, but stability implies finiteness only for "geometrically" not too wild spaces (which are locally "finitely decomposable"), especially for spaces which are of sub-analytic type. For these spaces stability is equivalent to the property, that the quotient-space (leaf space) is a differentiable space (even if X is a manifold, singularities may appear on the quotient level!). By examples it is shown, how different these two holonomy groups may be. It is open, whether the smaller one some times may be finite and the larger one infinite - 30) is essentially a report on the far reaching thesis of F. Leymann, 1982, Bochum university.

31) i), ii) :

The unique p-decomposition theorem from 27) is applied to space germs X, which are quotients of some real (resp. complex) numberspace by a finite linear group G: The decompositions of X (X = X₁ x...x X_k x R^s) (..C^s) are reflected in the decompositions of G (G = G₁ x...x G_k). The real and complex analytic case requires different proofs despite the fact, that the results are similar.

32) iii) :

In complex (real) analytic geometry we have the following situation: Certain properties, which hold with respect to differentiability (infinite, better finite of some sufficiently large order) are then also true with respect to analyticity. Examples: If an analytic germ is differentiablely a manifold then also analytically. If a differentiable vectorfield passes through some tangent-vector, then also an analytic field passes through it. Other examples are given with 01), 05), 10), 12). This paper gives a series of examples to this principle (mentioned in the title of 32)).

33) i), vi) :

Osgood-Hartogs-type theorems are proved for pairs of modules H in G over polynomial rings, more generally over polynomial-like rings: Here the polynomial variables are substituted by a finite or countable infinite family of analytic functions. One obtains results similar to those in 09), also with respect of obstructions. Testing on one additional chosen curve, which is sufficiently "transcendental", the obstructions disappear. Especially the property "polynomial" can be tested on linear subsets and on one ("semi-universal") additional, sufficiently transcendental curve.The existence of such "very transcendental" curves (with respect to the above mentioned type of generalized polynomials) is finally proved (using Stein-theory).

34) ii) :

It is shown, that a infinite-differentiable group (in the category of differentiable spaces) is in fact a Whitney space (that means, that locally the structure sheaf is a quotient of a sheaf of C-infinite-differentiable functions devided by the ideal sheaf of functions vanishing of infinite order on the underlying set of the space). This means: The non reduced parts of such groups lead to "differentiable families" of formal power-series. Besides 22), 37)-showing that the reduced part is already a manifold- this is another step in the direction of classifying differentiable groups. Note, that the corresponding cases N = w,w* are easier, because here each group is automatically reduced, hence even a Lie group.

35) vii) . Many "results", even in sciences, are highly mixed up with Ideology. This mixing can be partly reduced when using mathematics properly. We explain this at the hand of an example from "real life".

36) ii) :

A general foliation theory on spaces is proposed with some results indicated (see 47)).

37) ii) :

A locally compact topological transformation group, operating on a differentiable space X (reduced or not, but satisfying some mild restrictions in the reduced and non reduced parts) is in fact a Lie group and operates differentiable on the space. Special cases are classical: X is a manifold (Montgomery-Zippin), even a complex space, reduced (Kerner), non reduced (Kaup). As a corollary we obtain, that a locally compact reduced differentiable group is in fact a Lie group. Hence, reduced differentiable groups are dense subgroups of Lie groups (using 22)), which was - together with the more general results here - already announced in 22). By other methods, this last special case was also proved by Pasternak-Winiarski. Our paper gives also some historical comments to the development of differentiable spaces, especially with corrections of wrong statements and proofs to spaces in literature.

38) i), ii) :

The p-decomposition theorem of 27) for reduced space germs is extended here to some class of non reduced (including all reduced) complex space germs (so called almost homogeneous germs). Note, that all reduced complex (even semi) analytic space germs have this property, however not all non reduced germs (shown by a counterexample, which destroyed first hopes). Similar results will hold in the real analytic or differentiable cases (to be proved else where).

39) ii) : An arbitrary Lie algebra distribution (-sheaf) of locally integrable vector-fields on a reduced differentiable space has always a unique "largest" sub-foliation and a unique "smallest" upper foliation. The distribution is integrable iff sub and upper foliation coincide. The situation here is similar to integration theory with lower (sub-) and upper integrals there. Series of integrability-results are deduced by adding certain assumptions: of geometric type or of algebraic type. Especially we obtain corrections of several wrong statements in literature, formulated for the special case of manifolds X. Our method of proofs is geometric, relies on the theory of 24) and is "inductive". So even if we start with a manifold X, the next step leads us in general to arbitrary spaces. The only restrictions of this paper are: X is locally compact and N from {∞,w,w*} for the class of differentiability (due to the same restrictions in 24). But with the extension of 24) to arbitrary cases in 49) it is possible to extended the above mentioned results also.

40) vii) : Defects of so called exactness in mathematics are discussed.

41) ii) :

Some special gluing process of reduced spaces (Sasin) is extended (by different methods than in the much easier case of Sasin) to much more general gluing processes for reduced spaces, but also for non reduced spaces: Gluing of higher order. By this we obtain much finer gluing procedures, which are needed for applications. And the generalization also to non reduced spaces is necessary, even if one only wants to glue reduced spaces in less simple ways. The gluing procedure of this paper is very general and can be extended to gluing of metrics, fields, operators,... together with the spaces where they are living on.

42) v) : The starting elements of a new general theory of (so called) conformal (~winkeltreu, ~ w-) glide-glide kinematics are developed. It contains the more special new case of distance preserving glide-glide kinematics, and the much more special (by now classical) case of helical motions in arbitrary number-spaces Rⁿ. This is in detail developed for the distance preserving glide- glide kinematics in the following book.

43) v) :

A general new theory (due to the author and his student Friedrich) is developed in this book, which describes all possible movements of so called ruled manifolds of type (ℓ,1) in arbitrary number spaces along each other. For example two cylinders in R³, lying along each other, may roll and in addition glide orthogonal to the rolling on each other. These helical motions were studied up to now systematically. They are special cases of what we call roll gliding (with obvious self explanation). But there may be (and in general also is!) an additional gliding effect in the original rolling direction. These new glide-glide phenomena (new even in R³, but well known for R² !) is described for the first time systematically even for all real number spaces Rⁿ. In general two ruled manifolds cannot glide-glide on each other, and if they can, it may be impossible that they roll-glide (helical motion for example) on each other. They have to satisfy certain geometric conditions concerning different curvature properties (in general in higher dimensions now), some new extended notion of "Drall", and especially concerning certain types of singularities, which appear here. Take for example as ruled manifolds of type (1.1) in R³ (what classically is a ruled surface) two of the following surfaces: plane, cylinder, cone, hyperboloid, and let them move pair wise along each other, for example a cone on a cone, but the singularities for example not falling on each other,.... The glide-glide phenomena are described by two systems of coefficients, which we introduce. We determine the structure of these coefficients in relation to the two ruled manifolds, which glide-glide on each other. For all this some larger part of higher dimensional differential geometry, with some new aspects also, has to be developed in this book. A long list of problems to be handled one finds at the end of the introduction.

44) iv), 45) v) :

Both papers give applications, transformations of the theory of differentiable spaces (esp. of 24), 39) and results of K.Reichard) to control theory.

46) v) :

A new extended version (especially with respect to applications) of the book under 25).

47) ii) :

A general theory of foliated (also non reduced) spaces is started here (extending 30)), as was partially announced in 36): Spaces and leaves of their foliations may be spaces as well. The question concerning stability and quotient-sructure is taken up, extending the thesis of F. Leymann (list above). First basic results on this general level are proved, some others are only indicated. This general type of foliations appears in unexpectedly many different fields: see for example classical foliations, Jurchescu's mixed spaces, even supermanifolds in physics are to be seen under this aspect, see Holmann's foliations in complex variables, see dc-spaces (double complex spaces, describing for example quotients of complex spaces under anti- involutions); introduced in 53) by the author.

48) ii) :

The theory of foliations on its general level, as described in 47) is taken up here with respect to two special cases: General mixed spaces as an extension of Jurchescu's mixed manifolds and supermanifolds as a special case of non reduced foliated differentiable spaces with their generalizations given here.

49) ii), iii), iv) and 55) ii) :

For more flexibility one extends the notion of complex analytic functions, manifolds and finally spaces to almost complex objects, in this papers to the corresponding functions and spaces. Associated (quite general) foliations are described (example to 47). The close connection between symplectic and almost complex structures on manifolds for example is much more complicated on spaces. There are interesting relations, esp. for different types of singularities. Many cases are calculated.(55))

50) ii), iv), v) :

The idea of some general analysis on differentiable spaces is sketched on the basis of the papers in this series.

51)ii): : The theory of 24) is extended here to (quite) arbitrary reduced differentiable spaces, especially including now also the important cases of not locally compact spaces (for example in the class of semi analytic spaces) and all classes of finite differentiability. With this, the results in 28) and 39) with their consequences can be extended to these additional cases.

52)ii): The connection between differentiable spaces and Jurchescus functored spaces is established.

53) i), ii) :

Dc-spaces are introduced to describe quotients of complex spaces X with their conjugate complex structure X^c under anti-involutions p:

X—>X (hence with p^c: X—>X^c holomorphic and p◦p = id). It is the smallest category containing complex spaces, such that quotients of complex spaces under finite groups of diffeos, which are either holomorphic or anti-holomorphic, are in this category, and that this category is closed under forming quotients with finite groups of "mixed types" as above. Examples of such quotients are given.

54. ii), iv)). : See above.

55) ii), iii), iv) : See above.

57) ii), v) :

Our “Kinematik in Zahlenräumen” (43)) is extended to kinematics on manifolds, even more on spaces. Here our theory of locally integrable vectorfields (24), 51)) is essential.- Some first steps are given.

Part V. B) Content of mathematical-didactical-philosophical papers.

The series of papers under part II is concerned with more geometrical and operative thinking instead of formal logic-algebraic-settheoretic thinking in school-mathematics, bringing formal structures right from the beginning in contact with meaning and using above all a corresponding adequate language. So for ex. x² + 1 should not be called just a “term” or just a “function”-relation f(x), but meaningful-operative a “prescription”. Which in this case means: For any given number x build the square and then add 1. Typical papers in this direction are D6), D7), D9), D12). In D12) complex numbers are introduced via elementary pure triangle-geometry, showing right from the beginning their geometric meaning and operating with them on the level of prescriptions. Only later one may proceed to more formal points of view.(“adjunction” of some formal number “i” with i² = -1 ). In D20)-D22) for ex. it is pointed out, that one should be careful with types of plastic, graphic arguments. Nothing is really plastically clear. Plasticity is only a comfortable way to keep certain established things in our memory. In this context there was (is?) some nonsense in practical school-mathematics to be found.(for ex.: After including to the real numbers all numbers, which one describes via some formal constructions (for ex. Intervallschachtelung), then “it is plastically clear (anschaulich klar), that the real-number-line has no holes any more”).

Part VI Hierarchy of spaces in differentiable geometry

Besides our notions of differentiable spaces there exist in the literature many different other notions, which we will explain on the following pages. Some of these notions are (essentially) only different by formulation. It is not clear, in which direction the future will go.

Part a. Differentiable spaces (db-spaces) and some of the variants there:

1) Reduced N- differentiable spaces, r-db-spaces, Spallek 1962-1965
At first in connection with complex analytic spaces See 01) in the list under A) above. All classes of differentiability.

2) Reduced and non reduced differentiable spaces, db-spaces, Spallek 66-69
First general definition for all classes C ^N of differentiability: N = 0 (continuous), N= l,..,infinity, N = w (real analytic), N = w* (complex analytic). Local models are arbitrary subsets X of some numberspaces Rⁿ resp. Cⁿ with (germs of) functions on X, which are traces of (germs of) C^N-functions in the ambient Rⁿ (resp. Cⁿ, if N = w*) in the reduced case. Or restclasses of (germs of) C^N-functions in the ambient space Rⁿ (Cⁿ) modulo some ideal (sheaf) of function(germ)s vanishing on the subset. Two special cases from extreme ends are: differentiable manifolds (reduced case), formal powerseries-algebras over The real nb R or complex nb C in n variables "over one point" (non reduced case): 06), 11)

3) To some extend db-spaces are developed, Spallek 69 -.

4) Almost differentiable spaces, a-db-spaces . Spallek 88 - .
Ringed spaces, which are db on open and dense sets.

5) Continuous differentiable spaces, ct-db-spaces, Spallek 88 -
Reduced a-db-spaces, whose functions are in addition all continuous.

6) Weakly differentiable spaces, w-db-spaces, Spallek 88 -.

Reduced a-db-spaces, whose function(germ)s are differentiable, when composed from the left by "differentiable" mappings from (germs of) manifolds into the space.

7) Spitzfolds, Spallek, Kromme ~ 78.

Reduced ringed spaces, whose local models are subsets of Rⁿ's with some very special geometric structure and with function(germ)s, which are in a more complicated way differentiable (depending on the geometric structure mentioned before).

8) Extended differentiable spaces, e-db-spaces, Spallek 93 -.

Almost differentiable spaces, which are locally quotientspaces of differentiable spaces by a coherent, compact and stable foliation on them.

9) Double complex spaces dc-spaces, Spallek 93.
See 50) under part I, A) and C).

10) Foliated spaces, Spallek 85 -, Spallek/Piatkowski 92.

Double ringed spaces (X,O,O*), where i.g. O is contained in O*. Here O determines the leaves as level sets and their transversal C^N-db-space structure and O^* determines the C^M-db-space structure of the leaves. Special cases are: db-

spaces, mixed manifolds (Jurchescu, 69), supermanifolds (even parts), regel-spaces (kinematics, classical foliated spaces),... See 30), 36), 39), 42)-45), 47) under part I, A) and C).

11) Spaces with additional geometric structures, Spallek 70 -.

1) Algebraic assumptions concerning the ideal-sheaves, which are given by local models. For example: closedness in C^N -convergence; finite generatedness and some weaker notions. See 39) under part I, A) and C).

2) Differential geometric assumptions: Metrics

(euclidian, symplectic, hermitian), covariant derivations,...

3) Assumptions concerning types of stratifications of the underlying spaces:

corner poor (most points are regular, i.e. points of manifolds); curve rich (there are many differentiable curves, connecting singular points with regular points, in between passing only through regular points (curve selection assumptions); locally finitely reducible (locally the regular part decomposes only into finitely many components); locally irreducible (as above, but locally only one component always);....

12) Almost complex spaces, a-c-spaces, Spallek 89 -.

db-spaces with an almost complex structure. They extend the notion of almost complex manifolds in a similar way as complex spaces extend complex manifolds. See 51) under part I, A) and C).

13) Differential spaces (d-spaces), Sikorski 65 -.

Reduced ringed spaces X such that any finite set of functions induces a morphism from X into a number space(with its differentiable functions), together will all formal derivations. Many slightly changing definitions. Special cases on extreme ends: C^infinity -manifolds; topological spaces with their continuous functions; any set with any family of functions on it, closed under compositions and andowed with some induced topology on the set; inductive limits of number spaces.

14) Formal differentiable spaces, f-db-spaces, Spallek 88.

Ringed spaces (not necessarily reduced) with many morphisms as above. Several variants. Special cases are d-spaces.

Note:Special spaces appear under different names, for ex.:

{reduced C^infinity -differentiable spaces; Sp. 62-66} =

{C^infinity -subeuclidian spaces. Aronszajn, Szeptycki, 65} =

{d_o -differentiable spaces. Walzak, 72} = different other names.

All these spaces and assumptions are made to fit closely different concrete phenomena and problems in different fields concerning differentiable analysis. Spaces can be modeled also on Banachspace-, Frechetspace- level,...

Part b. Some spaces in other areas; their relations to db-spaces.

1) Reduced complex analytic spaces, r-c-spaces, 52-. Cartan, Serre, Behnke-Stein, Grauert-Remmert. Several variants exist, some of them are equivalent: Normal - spaces (Cartan) = spaces defined by coverings (Behnke-Stein, Remmert), ct-c-spaces (Cartan), special case of ct-db-spaces, w-c-spaces (Cartan), special case of a-db-spaces.

2) (Reduced and non reduced) complex analytic spaes, c-spaces, Grauert. 58 -. Special case of C^w*-differentiable spaces, where the local models are necessarily based on complex analytic sets.

Parallel and later to these spaces other spaces were developed: real analytic, more general: semi analytic, even more general: sub analytic spaces with analytic morphisms. These are special cases of C^w -differentiable spaces. However morphisms could be taken also as semi analytic resp. sub-analytic.

3) Spitzfolds. Special almost differentiable spaces: The underlying local sets are subsets of some Rⁿ's with very special structure and some very special definition of differentiability in points of singularity.

All these spaces have been introduced to fit to certain concrete phenomena in mathematics. Db-space language follows the language in these geometries. In algebraic geometry there was a parallel development from concrete algebraic sets to more abstract things (scemes, Grothendick) in the line of geometrisation of algebra.

Anhang

I Inhaltliche Beschreibung der Arbeiten nach Gebiets-Stichworten

A) Inhaltliche Groß-Einteilung der Arbeiten nach Gebieten:

1) Analytische Räume:

semianalytische

reellanalytische > Geometrie

komplex analytische

2) Differenzierbare Räume, Singularitäten

Physik (zus. mit Gruppen in Polen) > differenzierbare Geom.

Kinematik (Gleitgleit-Kinematik), Differentialgeometrie

3) Sonstiges

4) Mathematische Philosophie und Didaktik

B) Zuordnung der Arbeiten zu obiger Einteilung

1) Funktionentheorie; Reell-Analytische Geometrie

a) Osgood-Hartogs-Typ-Sätze: 2), 3), 4), 9), 11), 14), 33)

b) Zum Prinzip: "Differenzierbarkeit impliziert Holomorphie" in der analytischen Geometrie: 1), 5), 7), 10), 21), 23), 26), 30), 31)

c) Allgemeines, Verschiedenes: 7), 28), 30), 32), 38)

2) Differenzierbare Räume:

6), 11), 12), 13), 15), 16), 17), 18), 19), 20), 22), 25), 26), 27), 28), 29), 31), 32), 34), 36), 37), 38), 39), 40), 43), 44)Differentialgeometrie: 23), Kinematik: 39), 41), 42)

3) Algebra: 8), Modelling: 35)

4) Arbeiten zur Didaktik, Philosophie, Physik: Dl) - D18),35) 40)

C) Inhaltliche Beschreibung der Arbeiten nach Problem-Stichworten.

a) Zur komplex-,und reellanalytischen Geometrie

(01 - 05, 07 - 10, 12, 15, 22, 25, 26, 27, 30, 31, 34, 35). Insbesondere:

1) Arbeiten über Sätze vom Osgood-Hartogs-Typ:

Die Frage ist, in wie weit mathematische Objekte M eine bestimmte Eigenschaft E erfüllen, vorausgesetzt, dass diese Eigenschaft bei gewissen Einschränkungen M|T von M auf Testobjekte T erfüllt sind. 02, 04, 09, 12, 33 enthalten Resultate für Funktionen, allgemeiner für Garben auf komplexen Räumen (09) bzw. auf algebraischen Räumen (12).

2) Arbeiten zum Prinzip "Differenzierbarkeit impliziert Analytizität" in der komplex- bzw. reellanalytischen Geometrie, nach welchem "die Existenz gewisser differenzierbarer Objekte" hier "die Existenz äquivalenter analytischer Objekte" impliziert (01, 05, 07, 10, 12, 22, 30, 31), insbesondere für Funktionen (01, 05, 12, 22), für Vektorfelder (07, 12, 22), für Kurven (10,22).

3) Über p-Zerlegungen (Produkt-Zerlegungen) (26, 27, 30, 35).

b) Zur differenzierbaren Geometrie:

Reduzierte und nicht reduzierte differenzierbare Räume, Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten; Analysis auf diesen (05, 06, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19,20, 21, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 34).

Insbesondere Grundlegung (11, 16 ,19,21),

Einbettungen (11, 13),

Vektorfelder, Differentialformen (14, 17, 20, 23,32);

deren Anwendungen (26, 27, 30, 32).

c) Kurventheorie und Kartographie, Gleit-Gleit-Kinematik.

Mit zahlreichen Anwendungen: Zahnräder, Wankelmotore, Stabilität im Schiffsbau, Sonnenofen, Straßenführung, u.a. mehr. Gleitgleit-Kinematik: In einem neuen, sehr allgemeinen Rahmen, der nicht nur Schrotvorgänge erfaßt; insbesonde auch mit neuen Begriffen zur Erfassung sog. Gleitgleitvorgänge über das klassische Schroten hinaus, in allen Dimensionen, unter Einschluß von Singularitäten, also auf sog. differenzierbaren Räumen.(25, 42, 43, 46, 57)

d) Zur Didaktik, Philosophie, Physik:

Operativer, konstruierender Ansatz in der Schulmathematik statt eines formallogischen, formal- mengentheoretischen Ansatzes (Dl - D8), insbsondere Grundlegung in Dl, D5, D10, realisiert in D12 - D17. Kritik zur Schul-Mathematik mit geforderten Konsequenzen, u.a. auch in 35).

II Forschungsfreisemester Sommer 1993 als Beispiel. Protokoll

4. Mai - 4. Juni 1993: Rom, Universität La Sapienza

5 Vorträge, wöchentlich mind.2 std. über:

Ausgewählte Kapitel aus der Theorie der differenzierbaren Räumen. Insbesondere: Lokal integrable Vektorfelder; Doppelt komplexe (Dc-)Räume: Eine Weiterentwicklung zu einem Ansatz von Succi-Jurchescu und anderen. Mit Succi, Jurchescu gemeinsames Forschungsprojekt beabsichtigt.

9. Juni - 30. Juni: Krakau, Jagellonien-Universität.

Vorträge wöchentlich 2 std., mehrstündige Diskussionsrunden. Thema: Zum Darstellungsproblem von Differentialoperatoren. Gemeinsames Forschungsprojekt: Konkrete Berechnungen beim Darstellungsproblem mit Hilfe des Computers (zusammen mit Winiarski, Tworsewski).

1. Juli - 9. Juli: Lodz, Universität.

Täglich mehrstündiger Vortrag, Diskussion über geblätterte Räume. Forschungsprojekt mit A. Piatkowski: Blätterung von Räumen.

9. - 14. Juli: Warschau, Technische Universität

Täglich mehrstündiger Vortrag, Diskussion über Probleme zu differenzierbaren Räumen, insbesondere im Kontext mit der Physik. Gemeinsames Forschungsprojekt mit Sasin,

15. Juli - 12. August: Bochum, Ruhr-Universität

Prof. Bartosiewicz als Gast. Fast tägliche Besprechungen über "Differenzierbare Räume und Kontrolltheorie" als gemeinsames Forschungsprojekt.

12. August - 30. August: Rumänien, Bukarest Universität.

Timischoara Univ. (Konferenz).
Mehrere Vorträge über:

Dc-Räume,

Blätterungen von Räumen - insbesonder "mixed Spaces", differenzierbare Räume als "functored Spaces", differenzierbare Räume und Supermannigfaltigkeiten.
Gemeinsame Forschungsprojekte geplant mit:

Jurchescu (Functored Spaces, mixed spaces),

Pascu (Superräume).

III Bücher, Skripte, Geplantes

A) Zur Mathematik. Arbeiten:

1) Darstellbarkeit von Differentialoperatoren. (Spallek, Haas, Winiarski)

2) Gluing spaces with additional properties (for ex.: of geometric type).(Spallek)

3) Geometric properties of quotientsingularities.

Geometric properties going over to quotients. (Spallek/Reichard)

4) Spaces and Physics, super spaces. (Spallek, Pascu, Sasin...)

5) Almost homogeneous space germs. (Spallek/Storch)

6) Formale, diffb. und Liesche Gruppen. (Spallek)

7) P-irreduzible Zerlegungen nicht reduzierter Raumkeime. (Spallek)

8) Differenzierbare Geometrie: Reduzierte Geometrie (Bd.I, II), nicht reduzierteGeometrie (Bd.III, Bd IV) (Spallek)

9) Differentialgeometrie (Bd I, II, auf Räumen). (Spallek)

10) Formal N-differentiable spaces, almost N-differentiable spaces und other types of "differentiable spaces".(Spallek)

11) Almost complex and symplectic structures on differentiable spaces.(Spallek)

12) Kristallographische differenzierbare Räume. (Spallek)

13) Controlltheory and differentiable spaces. (Spallek/Bartosiewisz)

14) Embedding spaces into manifolds of smallest dimension and a new
obstruction-theory. (Spallek)

15) Morse-Theorie auf differenzierbaren Räumen. (Spallek)

Bücher, Hefte (erschienen, oder als Skript nur, oder nur geplant):

Zur Geometrie auf differenzierbaren Räumen (mit und ohne Singularitäten)

1. Kurven und Karten (B.I.-Verlag 1980 und 1994)

2. Kinematik in n-dimensionalen Räumen. Vom klassischen Schroten zur allgemeinen Gleit-Gleit-Kinematik. (K.Friedrich/K.Spallek) B.I. Wissenschaftsverlag, 245 Seiten (1993) ISBN 3-411-16631-2

3. Differentialgeometrie (auf Räumen, d.h.unter Einschluß –einfacher- Singularitäten).

4. Geometrie auf reduzierten differenzierbaren Räumen. Anwendungen auf die Physik.

5. Geometrie auf nicht reduzierten differenzierbaren Räume.

6. Zahl und Zuordnung (6 Bände, 1981-1986, Schrödel-Verlag)

7. Operative Schulmathematik

8.Vorlesungsnachschriften

Analysis I, II, III, IV. Lineare Algebra I

Vektoranalysis

Differenzierbare Geometrie I, II

Differentialgeometrie I

Lie-Gruppen und Differenzierbare Gruppen

B. Zur Didaktik

Spallek & Coautoren: Schulmathematik in operativer Sicht.

Spallek,K.: Über das Unendliche in der Mathematik.

Spallek,K.: Ziele im Mathematik-Unterricht, Leitlinien.

Spallek,K./Himmelmann,J.: Fast euklidische Geometrien.

Spallek,K.: Was heißt "es gibt" in der Mathematik.

Spallek,K./Himmelmann,J.: Das Ei des Kolumbus.

Spallek,K.: Das Paradies und die Vertreibung aus selbigem.

Spallek,K.: Was heißt Analysis? Berechnungsvorschriften in der Analysis.

Spallek,K.: Operative Schulmathematik.

gescheiterte Pläne.