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Mathematisches Institut der Universität Basel
Vorlesung Infinitesimalrechnung I (WS 99/00)

PD Dr. Jörg Winkelmann

Aufgabenblatt 13

Abgabetermin: 4. Februar 2000

1.

Sei eine konvexe Funktion. Zeigen Sie: f ist stetig.

2.

Eine Funktion heißt ``gerade'' falls und ``ungerade'' falls .

(a)

Zeigen Sie: Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.

(b)

Ein Polynom ist genau dann gerade wenn a_k=0 für alle ungeraden k .

3.

Die ``Legendre-Polynome'' sind wie folgt definiert: Zeige Sie, dass für jedes das Legendre-Polynom P_n genau n paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall ]-1,1[ besitzt.

4.

Berechne

5.

Sei und f eine n -mal differenzierbare Funktion auf . Beweise folgende ``Leibnitzregel'' für höhere Ableitungen (wobei f^(k) die k -te Ableitung von f bezeichnet mit f⁽⁰⁾=f ):

(*) 6.

Sei gegeben durch

Zeigen Sie, dass f unendlich oft differenzierbar ist.