Fri Apr 25 

Verschiedene aequivalente Definitionen von komplexer Diffbarkeit.
Ableitungsregeln fuer Summen, Produkte, Quotienten
Polynome sind diffbar.
Komplexe Konjugation ist keine komplex diffb. Abbildung.

C-diffbar impliziert R-diffbar (via C=R^2 )
Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen hergeleitet.
Beispiele dazu: erneut Konjugation und z^2.

 Fri May  2 

Erinnerung: abs. Konvergenz von Reihen, Potenzreihen,
Konvergenzradius r definiert als
sup{|x|: a_kx^k ist beschraenkt }
Satz:
Fuer |x|<s<r konvergiert absolut und gleichmaessig,
Divergenz fuer |x|>r.
Fuer |x|=r kann man nichts sagen, Beispiel: \sum x^k/k divergiert
fuer x=1 und konvergiert fuer x=-1.

Exponentialfunktion definiert, Funktionalgleichung, komplex
diffbar, sin, cos, elementare Eigenschaften.
Im komplexen sind sin,cos nicht beschraenkt.
Satz:
e^z=1 genau dann wenn z ein ganzzahliges Vielfache von 2pi i.
Etwas zu Polarkoordinaten.

 

 Fri May  9 

Formel von Cauchy-Hadamard beweisen.

Integrale von komplex-wertigen Funktionen ueber Intervalle in R
eingefuehrt, elementare Eigenschaften: C-linear, vertraeglich
mit gleichmaessiger Konvergenz, |\int f(t) dt | \le \int | f(t)| dt.

Stueckweise stetig differenzierbare Wege definiert.

Definition des Integrals einer komplex-wertigen stetigen Funktion
ueber einen stueckweise stetig differenzierbaren Weg.

Beispiele.

 Fri May 16 

Def. Stammfunktion.
Satz:
Wenn F Stammfunktion fuer f , dann \int_x^y f(z)dz = F(y)-F(x).

Begriff der Wegunabhaengigkeit, geschlossene Wege, konvexe Mengen.

Satz:
Wenn Integrale wegunabh., dann wird durch F(z)=\int_p^z f(w)dw eine
komplex diffbare Funktion mit F'=f definiert.
Satz:
Fuer konvexe Mengen genuegt zur Wegunabhaengigkeit des Integrals,
dass jedes Integral ueber ein Dreieck verschwindet.

Fri May 23 

Lemma von Goursat ueber Dreiecksintegrale formuliert
und bewiesen,
Anwendung: Stammfunktion auf konvexen Gebieten,
Logarithmus als Stammfunktion von 1/z (Hauptzweig).
Variante des Lemma fuer stetige Funktionen die mit Ausnahme eines
Punktes ueberall komplex diffbar.
Beispiel dazu g(z)=(f(z)-f(w))/(z-w.


 Fri May 30 

Cauchy Integralformel bewiesen.
ebenso fuer die Ableitungen.

Folgerungen:

f einmal komplex diffb => f unendl. oft komplex diffb.

Satz von Morera: f genau dann holo, wenn jedes Dreiecksintegral
verschwindet.

Maximum-Prinzip.

Fundamentalsatz der Algebra.

Falls lim f_n=f lokal glchm, f_n holo, dann auch f holo und 
lim f_n'=f'.

 Fri Jun 13 

Satz:
f holo ausser in einem Punkt, ueberall stetig => f ueberall holo.

Satz
f holo, f(p)=0. Dann existiert g holo mit f(z)=(z-p)g(z).

Riemannscher Hebbarkeitssatz:
f beschraenkt nahe 0, holo ausserhalb von 0 => holo in 0

Satz von Liouville
f beschraenkt, holo auf ganz C => konstant.

Satz ueber Potenzreihenentwicklung.
Satz:
Konvergenzradius=maximaler Radius, auf den sich die Funktion
ausdehnen laesst.

Konvergenzradius der Taylorreihe von 1/(1+x^2) erklaert.

 Fri Jun 20 

Potenzreihen formal ableitbar
Identitaetssatz: Nullstellen holo. Fktn sind diskret.
Satz:
Reell-analytische Fktn sind holomorph auf eine offene Umgebung
fortsetzbar.
Satz von der Gebietstreue (Nicht konstante holo. Fktn. sind offene
Abbildungen)


Fri Jun 27
f(C) dicht in C.

 Fri Jul 11 

f nicht konstante ganze Fkt => Re(f) ist surjektiv

isolierte Singularitaeten: hebbar, Pol, wesentlich
Definition & Charakterisierung
f pol in p <=> lim |f|=\infty
f wesentlich <=> fuer jede kleine Umgebung W von p
gilt f(W) ist dicht in C
f nicht wesentlich <=> es gibt ein n in Z sodass lim (z-p)^nf(z)=0